1.2 单调有界序列必收敛 定理: 设已给单调增大的整序变量x_n,若它上有界:\begin{aligned}x_n \leq M\end{aligned}, 则必有有限极限,否则,趋于+\infty。 设已给单调增大的整序变量x_n,若它下有界:\begin{aligned}x_n \geq m\end{aligned}, 则必有有限极限,否则,趋于-\infty。 证明: 只限制在整序...
e.g1有界序列案例e.g2无界序列案例(这个了解即可)当然,由于无界序列的定义是 \forall K \in R,\dots。你要求严谨点的话,就是下面这样: 对于任意实数K \in R,总有一个自然数N > K,我们取n=2^{2N},就有:|x_n|=x_n= \dots >\dots >=2N\frac{1}{2}=N>K.2.1...
并非所有无限维度量空间都不具备「任意有界序列必有收敛子列」的性质。例如，常见的两个空间作为Frechet空间，它们至少是完备度量空间，满足任意有界序列都有收敛子序列。然而，这样的特性也间接表明这两个空间不可赋范。
通过研究有界序列,我们可以更好地理解希尔伯特空间的结构和特性。 三、弱收敛子列的存在性。 1. 弱收敛是个很奇妙的概念。它不像我们平常理解的那种收敛那么直白。在希尔伯特空间里,弱收敛意味着序列在某种“弱”的意义下趋向于一个极限。这个“弱”的意义呢,就和希尔伯特空间里的内积之类的概念有关。 2. 那...
序列有界性的证明题设{an}有极限L.证明: {an}是一个有界序列,也即存在一个常数M,使得|an|<=M(n=1,2,...) 答案 Lim(an)=L,任取ε>0,存在正整数N,当n>N时,|an-L|<ε.取ε=1,则有当n>N时|an-L|<1,即|an|<max(|L+1|,|L-1|)令M=max(|a1|,|a2|,…,|aN|,|L+1|,|L-1|...
首先柯西序列是有界的，这个很好证明，你可以自己证一下，下面要用到一个很有用的引理：有界序列必存在收敛子列，这是关于实数性质的基本定理，证明较繁，但是直观上很好接受。有了这两点就可以证明柯西收敛原理的充分性了（这是柯西当年没有完成的）：设序列{an}是柯西序列，则它是有界的，因此{an}...
其中,有界序列是希尔伯特空间中的一类重要对象,其弱收敛性质对于理解空间的结构和性质具有重要意义。本文将探讨希尔伯特空间中有界序列存在弱收敛子列的证明方法及相关概念。 1.希尔伯特空间简介。 希尔伯特空间是由德国数学家希尔伯特在20世纪初提出的,它是一个完备的内积空间,具有内积和范数的结构。常见的希尔伯特空间包括...
单调有界序列必收敛。这意味着，若给定单调增加或减少的序列，并且该序列有上界或下界，则该序列必然收敛至一个有限极限。具体来说，对于单调增加的序列，若有上界，则该序列必收敛至其上确界；对于单调减少的序列，若有下界，则该序列必收敛至其下确界。这一定理的证明通过找出序列的极限作为上确界或下...
为什么有界序列不一定收敛?我们可以从数学的角度来理解一下。 一个序列收敛,意味着它的项随着序号的增大越来越接近某个特定值。也就是说,无论你选择多小的一个正数,总能找到一个序号,使得之后的所有项都与这个特定值之间的距离小于这个正数。 而对于一个有界的序列,它的项虽然被限制在一个范围内,但它们之间...
【解析】 证当$$ H = \{ \theta \} $$时,结论显然成立.设$$ H \neq \theta $$,并设($$ u , $$,}是有 界序列,即$$ | u _ { n } | | \leq M . $$ (1)设H是可分的, $$ v _ { 1 } $$}是H的可数稠子集.因为 $$ | | ( u _ { n } , v _ { 1 } ) | | \...