设N,M 中微分形式的基 \mathrm dx^i,\mathrm dy^j ,有 \textbf{Lemma.1} F^*(\mathrm dy^J)=\dfrac{\partial F^J}{\partial x^I}\mathrm dx^I.对1 形式 特别地 F^*(\mathrm dy^j)=\mathrm dF^j 以及F^*(\mathrm dy^J)=\mathrm dF^J。
我们很熟悉,在力场 \mathbf{F}(x) 中走一个位移 \xi ,场做的元功正是 \omega_{\mathbf{F}(x)}^1(\xi)=\langle \mathbf{F}(x),\xi\rangle , 因此这种微分形式称为场的功形式. 例3. 在区域 D 内给出一个矢量场 \mathbf{V}(x) ,在 x\in D 处,取对应的矢量 \mathbf{V}(x) 以及 \...
外微分形式，也叫做微分形式，在埃利·嘉当1899年给出一般的定义之前，一些特殊形式已经出现在数学中，它们是多元函数的全微分。例如二元函数f (x,y) 的全微分 df =fx dx +fy dy 就是一个一次微分形式。从二元函数的全微分出发，18世纪的数学家提出了一个问题：对于一般的表达式 Pdx + Qdy （ P 和 Q 都...
一、 微分形式论：数学的抽象框架 微分形式论是一种研究流形上的光滑函数的外代数的数学分支。在这一理论中，微分形式可以看作是函数的推广，它们不仅包含函数的导数，还可以包含多个变量的微分。微分形式论的核心是外微分，它允许我们从已知的微分形式构造出新的微分形式。微分形式论的基本概念是微分形式，它可以表示...
偏微分方程 常微分方程（ODE）是指微分方程的自变量只有一个的方程。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。一般的n阶常微分方程具有形式：其中 是 的已知函数，并且必含有 。偏微分方程（PDE）是指微分方程的...
数学的美妙之处在于其各个领域之间的相互关联和深刻内涵。在微积分中,微分形式和积分便是这样一对紧密相连的概念。它们不仅在数学中具有重要地位,还在物理、工程和其他科学领域中发挥着关键作用。 无需多说,积分是单变量微积分的基本概念之一。然而在这个...
微分形式基于外代数构建,为积分运算提供新的表达形式。其定义依赖于光滑流形,为积分设定了适用的空间背景。0 - 形式对应标量函数,在积分中有基础的地位。1 - 形式可表示向量场,在曲线积分中有重要应用。例如在平面向量场中,1 - 形式用于计算做功等物理量。2 - 形式与曲面相关,是曲面积分中的关键角色。比如在...
1、麦克斯韦方程组的积分形式如下: 2、微分形式 在电磁场的实际应用中,经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。从数学形式上,就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。倒三角形为哈密顿算子。 麦克斯韦方程组在电磁学中的地位,如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。以麦克斯韦方程组为核心的电磁理...
数学中，流形 M 上一个向量值微分形式（vector-valued differential form）是 M 上取值于一个向量空间 V 的微分形式。更一般地，它是取值于 M 上某个向量丛 E 的微分形式。通常的微分形式可以视为 R-值微分形式。向量值微分形式是微分几何中的自然对象并有广泛的应用。正式定义 设Μ是一个光滑流形， 是Μ上...