庞加莱猜想是拓扑学领域的核心问题之一,其核心断言为:任何单连通的三维闭流形必与三维球面同胚。该猜想由法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出,历经百年探索,最终由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年通过里奇流方法完成证明,成为千禧年大奖难题中首个被解决的难题。 一、数学意义与问题...
在三维庞加莱猜想的证明上取得突破性进展的是俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）。佩雷尔曼在2002年12月开始，将关于证明庞加莱猜想的三篇论文以预印本的形式陆续发表在康奈尔大学图书馆的arxiv共享网站上，并向一些几何拓扑学界的权威学者发了电子邮件请求他们对论文的正确性予以评价。佩雷尔曼的证明...
在庞加莱猜想中,或者说“拓扑”这个数学分支中,并不关心传统意义上的、精确的形状,它会认为任何三维中有一个“洞”的形状都等同于“甜甜圈”(比如下面的茶杯),任何三维中没有“洞"的就等同于“球形”(比如下面的橡皮奶牛): 据说庞加莱连圆形和三角都分不清楚,所以才导致了拓扑学的研究。如果真是这样,只能说...
知晓庞加莱这个名字的人也许不多，其实，庞加莱是近代数学史上一位伟大的数学家，他提出过著名的“庞加莱猜想”，而这个猜想就与面包圈有关系。1904 年，庞加莱提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的、封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”我们试着解释一下：一个封闭的三维流形是一个没有边界的...
用数学语言来精确表述庞加莱猜想，就是：设 \( M \) 是一个三维的紧致（即有界且闭）简单连通（即每一条封闭曲线都能收缩到一点）的流形，那么 \( M \) 同胚于三维球面 \( S^3 \) 。这里的 “同胚” 可以理解为两个拓扑空间在连续变形下可以相互转化，它们具有相同的拓扑性质。也就是说，如果一个...
庞加莱在1905年发现了他叙述中的错误,并对其进行了修改: 任何与三维球面同伦的三维封闭流形必定同胚于三维球面。 或者说: 任何一个单连通的,闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。 这才是真正的庞加莱猜想。 我们刚刚才提过,二维球体(圆盘)的表面是一个一维球面(圆周),而三维球面实际 上是四维空间中的东西,...
庞加莱猜想(Poincaré conjecture)是法国数学家庞加莱提出的一个猜想,其猜想内容为:任何一个单连通的,闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。其也称为克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年,数学界最...
从拓扑学中来看，庞加莱猜想的意义几乎等同于证明1+1=2，是一个具有基础意义的难题，因此庞加莱猜想也是七个千禧年难题大奖之一。庞加莱猜想的表述十分简单，但是却让 人难以理解：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。一位低调的数学家佩雷尔曼，证明了庞加莱猜想。庞加莱猜想是什么意思...
法国数学家亨利·庞加莱(HenriPoincaré)———曾被称为“最后一位数学全才”,在他留下的巨大科学遗产中,有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题,这就是困扰了数学家整整一个世纪的“庞加莱猜想”. 他在1904年发表的一组论文中提出这一猜想:“单连通的三维闭流形同胚于三维球面.”也即:在一个闭三维空间,...