庞加莱猜想是拓扑学领域的核心问题之一,其核心断言为:任何单连通的三维闭流形必与三维球面同胚。该猜想由法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出,历经百年探索,最终由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年通过里奇流方法完成证明,成为千禧年大奖难题中首个被解决的难题。 一、数学意义与问题...
在三维庞加莱猜想的证明上取得突破性进展的是俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）。佩雷尔曼在2002年12月开始，将关于证明庞加莱猜想的三篇论文以预印本的形式陆续发表在康奈尔大学图书馆的arxiv共享网站上，并向一些几何拓扑学界的权威学者发了电子邮件请求他们对论文的正确性予以评价。佩雷尔曼的证明...
庞加莱在1905年发现了他叙述中的错误,并对其进行了修改: 任何与三维球面同伦的三维封闭流形必定同胚于三维球面。 或者说: 任何一个单连通的,闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。 这才是真正的庞加莱猜想。 我们刚刚才提过,二维球体(圆盘)的表面是一个一维球面(圆周),而三维球面实际 上是四维空间中的东西,...
所有数学界的人都迫切地想要见到那位俄罗斯数学天才佩雷尔曼，他证明了困扰数学界100年的庞加莱猜想。但佩雷尔曼并没有出现，然而片刻后会场仍爆出经久不衰的掌声，致予那位缺席的数学天才最崇高的敬意。佩雷尔曼是何许人也？让我们回到最初，看看震惊世界之前的他。1天才少年的诞生1966年，就在斯梅尔博士在莫斯科...
知晓庞加莱这个名字的人也许不多，其实，庞加莱是近代数学史上一位伟大的数学家，他提出过著名的“庞加莱猜想”，而这个猜想就与面包圈有关系。1904 年，庞加莱提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的、封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”我们试着解释一下：一个封闭的三维流形是一个没有边界的...
用数学语言来精确表述庞加莱猜想，就是：设 \( M \) 是一个三维的紧致（即有界且闭）简单连通（即每一条封闭曲线都能收缩到一点）的流形，那么 \( M \) 同胚于三维球面 \( S^3 \) 。这里的 “同胚” 可以理解为两个拓扑空间在连续变形下可以相互转化，它们具有相同的拓扑性质。也就是说，如果一个...
克雷数学研究所在2000年5月24日公布了七大数学难题,被称为千禧数学问题,并且给出悬赏,这些问题每解决一个都可以获得一百万美金的奖金。所有问题都悬而未决,除了庞加莱猜想,本文就来介绍下庞加莱猜想讲的是什么。 1 地球真的是圆的吗? 历史上很长的时间,人们都觉得地球是平的: ...
庞加莱猜想(Poincaré conjecture)是法国数学家庞加莱提出的一个猜想,其猜想内容为:任何一个单连通的,闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。其也称为克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年,数学界最...
从拓扑学中来看，庞加莱猜想的意义几乎等同于证明1+1=2，是一个具有基础意义的难题，因此庞加莱猜想也是七个千禧年难题大奖之一。庞加莱猜想的表述十分简单，但是却让 人难以理解：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。一位低调的数学家佩雷尔曼，证明了庞加莱猜想。庞加莱猜想是什么意思...