算法1.2.1 上三角矩阵乘法 显然,上三角矩阵乘法比全矩阵乘法涉及更少的算术运算,对于每一个 c_{ij} 来说,只需要经历 j-i+1 次flops 。通过近似公式: \sum_{p=1}^{q}{p}=\frac{q(q+1)}{2}\approx \frac{q^{2}}{2} 和\sum_{p=1}^{q}{p^{2}}=\frac{q^{3}}{3}+\frac{q^{2}...
如果矩阵的非零元素分布在对角线元素两侧，例如，对角线下侧有m1条次对角线为非零元素，对角线上侧有m2条次对角为非零元素，矩阵的其他次对角线上元素均为零元素，这样的矩阵，称为带宽为m1＋m2＋1的带状矩阵。连续性问题离散化后得到的线性方程组，其系数矩阵往往是带状矩阵。若带状矩阵的各阶主子式...
这种矩阵常见于数值分析、有限元计算和微分方程求解领域,其压缩存储可显著减少内存占用。典型的应用场景包括三对角方程组(热传导方程离散化)和五对角矩阵(二维波动方程离散化)。 二、 带状矩阵的压缩核心是仅存储带状区域内的有效数据。以n阶矩阵带宽为d(上下带宽之和)为例,传统存储需要n²空间,而压缩后仅需n×(...
带状矩阵的下带宽是指非零元素位于主对角线下方的最远距离，上带宽则是指非零元素位于主对角线上方的最大距离。例如，矩阵中非零元素仅位于主对角线及其相邻两行和两列，此矩阵的下带宽为1，上带宽为2。在带状矩阵的运算效率方面，以上三角矩阵乘法为例，其结果仍然是上三角矩阵，且计算过程涉及的算术...
带状矩阵A∈Rn×n具有下带宽p和上带宽q,且p和q远小于n。这样的矩阵称为带状矩阵。如下所示: A={a11a12a13000a21a22a23a24000a32a33a34a35000a43a44a45a46000a54a55a560000a65a66} 是一个p=1,q=2的带状矩阵。 从带状矩阵的结构可以看出,存储时只保存“带状”的部分是比较合理的选择。这样带状矩阵可以存...
带状矩阵压缩是一种针对特殊结构矩阵设计的数据存储优化技术，常用于数值计算、工程仿真等领域。这类矩阵的特点是大部分元素为零，非零元素集中分布在主对角线附近，形成类似"带状"的分布形态。理解带状矩阵的结构特征需要把握三个核心参数：矩阵总阶数N、主对角线带宽D、次对角线数量K。实际应用中，这类矩阵常见于有限...
带状矩阵是一种在矩阵中具有特定带宽的矩阵，其下带宽和上带宽远小于其主对角线宽度。这种结构使得在存储时，只需保存带状部分，即主对角线及其两侧的元素，可以使用一个较小的一维数组表示，节省存储空间。以一个3x3的带状矩阵为例，仅需存储其带状部分，即主对角线及其上下各一元素，矩阵存储在数组中，...
对角矩阵也称带状矩阵。对 阶矩阵 中的任意一个元素 ,当 时,若有 ( ),则称为三对角矩阵 在三对角矩阵中,所有非零元素都集中在以主对角线为中心的 3 条对角线的区域,其他区域的元素都为零。 三对角矩阵 也可以采用压缩存储,将 3 条对角线上的元素按行优先方式存放在一维数组 ...
带状矩阵即：在矩阵A中，所有的非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中。其中最常见的是三对角带状矩阵。如下图所示：三对角带状矩阵有如下特点：aij非零，其他元素均为零。就
求逆一个带状矩阵通常涉及到解线性方程组,因为矩阵的逆可以通过求解单位矩阵与该矩阵的线性方程组得到。对于带状矩阵,我们可以采用一些优化算法来加速求逆过程,从而提高计算效率。 一种常用的方法是基于LU分解的求逆算法。LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。对于带状矩阵,LU分解后的...