考虑光滑映射f: M \to N(记\dim(M) = m,\dim(N) = n),对于点y \in N,f^{-1}(y): = \{x \in M \mid f(x) = y\}是M的一个闭子集,那么它是不是一定是M的闭子流形呢? 答案是否定的,比如考虑f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, ...
目录 收起 微分 切空间 切映射 光滑曲线与切向量 秩定理 正则子流形 微分 对于Rn 的子流形,有一个外部空间以供直观地讨论切向量、切空间。但在抽象的光滑流形上,我们需要从头开始。在 Rn 中切向量与方向导数、切向量与光滑曲线的切矢的一一对应都能用于定义切向量。
本文将从以下几个方面介绍子流形的定义: 1.嵌入映射 嵌入映射是将子流形嵌入到宿主流形中的映射。这个映射可以是一一对应,也可以是多对一对应。通常情况下,我们将嵌入映射分为两种:一种是光滑嵌入,即嵌入映射是可微的;另一种是Lipschitz嵌入,即嵌入映射是Lipschitz连续的。 2.切空间 切空间是子流形上每个点的...
子流形是一个名称,用来描述嵌入另一个空间的平滑的,可微的流形。流形是一个用来描述空间形式的数学对象。例如,一个曲线或曲面可以被描述为流形。其中的每个点都有一些良好定义的性质,如坐标、法向量等。流形在这些性质下体现出的可微性非常重要。 在定义子流形之前,我们需要先介绍一些必要的概念。一个流形是一个空...
嵌入子流形(也说正则子流形,regular submanifold)指的是一个低维流形能够完全嵌入到高维流形中,即可以把低维流形看作高维流形的一个真子集。具体来说,如果一个mm维流形能够嵌入到一个nn维流形中,且m<nm<n,则称这个mm维流形为nn维流形的嵌入子流形。
这种理解不完全准确。正则子流形的维数是小于等于原流形的维数，但仅这样理解过于片面。以下从子流形定义的关键要素出发，来理解单位球面是三维空间正则子流形：关于“第三个坐标（在三维球坐标对应关系里）可看作取值为0的形式（这里是一种对应理解）”这句话的解释：
在微分几何的研究领域中,流形和子流形是两个重要的概念。其中,伪黎曼流形是一种特殊的流形,其上定义了伪黎曼度量,而子流形则是嵌入在更高维流形中的低维流形。近年来,双调和子流形作为一类特殊的子流形,在几何分析和物理等领域得到了广泛的研究。本文旨在探讨伪黎曼流形中的双调和子流形的性质及其应用。
9月23日至9月29日，第十一届“子流形的几何与拓扑”会议在首都师范大学隆重召开。本届会议由首都师范大学数学科学学院和首都师范大学交叉科学研究院主办，旨在促进国内子流形几何与拓扑的发展，交流最新学术成果，研讨该领域前沿问题。来自北京大学、清华大学、复旦大学、中国科学院大学、浙江大学、四川大学、南开大学、...
映射的微分：对M上任一点p的切向量x，定义N在φ处的切向量x┡，这一对应关系x→x┡用dφP表示，即φ在点p处的微分。dφP是从切空间TP到TN的线性映射，也称为φ在切空间的诱导映射。子流形： 浸入子流形：考虑M和N两个C流形及映射φ：M→N。若微分dφP在M的每一点都是单射，则称φ为...
研究嵌入子流形的方法众多。正则子流形的定义较为严格。嵌入子流形可能带来新的数学发现。正则子流形是数学理论的重要组成部分。对嵌入子流形的认识不断深化。正则子流形的应用广泛。嵌入子流形与周围环境的关系值得探讨。正则子流形的例子在实际问题中可见。研究嵌入子流形推动了数学发展。 正则子流形的特点使其...