半正定矩阵在多个领域具有广泛的应用。在优化问题中,半正定矩阵是半正定规划的基础,该类问题在机器学习、信号处理等领域具有重要的地位。此外,半正定矩阵还出现在量子物理、统计学、金融数学等领域。在量子物理中,半正定矩阵与量子态的密度矩阵密切相关;在统计学中,半正定矩阵与协方差矩阵等概...
半正定矩阵 性质 科学 类别 数学 属于 线性代数 折叠编辑本段半正定矩阵概述 定义 一个n×n的埃尔米特矩阵M是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z,都有z*Mz > 0,则称M为正定矩阵,其中z* 表示z的转置矩阵。当z*Mz > 0弱化为z*Mz≥0时,称M是半正定矩阵由于M是埃尔米特矩阵,经计算可知,对于任意的复...
xTAx=xTBTBx=(Bx)TBx=||BX||2≥0,所以一定是半正定的。 ⑦存在n阶实矩阵C,使A=CTC. 非严格证明: ⑦和⑥比较类似。区别是C是方阵,B是r×n实矩阵。 思路一:其实只需要令C=(BO),则CTC=BTB. 也就证出来了。 思路二:可以结合下面的例题一中的思路三来理解。 先配方为平方和,然后换元,就可以写出对应...
一:半正定矩阵 设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有x^T^Ax≥0,就称A为半正定矩阵。 在这里插入图片描述 等价条件: 1. A是半正定的; 2. A的所有主子式均为非负的; 3. A的特征值均为非负的; 4. 存在n阶实矩阵C,使A=C^T^C; ...
半正定矩阵的判定方法 一、定义法: 对于实对称矩阵A,它是半正定矩阵,当且仅当对任意非零向量x,都满足:x'Ax≥0,此时A被称为半正定矩阵; 二、特征值法: 对于实对称矩阵A,A是半正定的,则A的特征值均大于等于0,反之,若A的特征值存在小于0的,A即非半正定矩阵; 三、主子矩阵法: 对于实对称矩阵A,若A的...
什么叫半正定矩阵 答案 具有对称矩阵A的二次型f=x’Ax,如果对任何非零向量x,都有x’Ax≥0(或x’Ax≤0)成立,且有非零向量x0,使x0'Ax0=0,则称f为半正定(半负定)二次型,矩阵A称为半正定矩阵(半负定矩阵).即有定义:设A是实对称矩阵.如果... 相关...
一个矩阵是否为半正定矩阵可以通过以下几种方法进行判断：方法/步骤 1 特征值判据：对于一个 n × n 的实对称矩阵 A，它是半正定矩阵当且仅当它的所有特征值都大于等于 0。即 A 的所有特征值 λi 都满足 λi ≥ 0。2 主子式判据：对于一个 n × n 的实对称矩阵 A，如果 A 的所有主子式（即矩阵 A...
本文介绍正定矩阵和半正定矩阵。 定义 正定和半正定这两个词的英文分别是positive definite和positive semi-definite,其中,definite是一个形容词,表示“明确的、确定的”等意思。 正定 给定一个大小为n×n的实方阵A,若对于任意长度为n的非零向量x,有xTAx>0A是一个正定矩阵。
要证明一个矩阵是半正定矩阵，关键在于它的所有特征值都必须是非负的。这里我们首先定义半正定矩阵。一个实对称矩阵，如果它的所有特征值都是非负的，则该矩阵被称为半正定矩阵。换句话说，如果矩阵A的所有特征值要么为0，要么为正数，那么A是一个半正定矩阵。具体地，可以通过求解特征方程来获取矩阵的...