正定矩阵是半正定矩阵的子集,区别在于正定矩阵要求二次型严格大于零且所有特征值为正。例如,单位矩阵是正定的,而包含零特征值的对角矩阵(如 ( \text{diag}(1,0) ))仅为半正定。这一差异决定了正定矩阵必然可逆,而半正定矩阵可能不可逆。
半正定矩阵是实对称矩阵的一种特殊类型,其核心特征为所有特征值非负且对应的二次型恒非负。它在数学理论和实际应用中具有重要地位,尤其在优化、机器学习等领域中常被用于描述约束条件或数据结构的非负性。以下从定义、性质、判定方法及典型应用四个维度展开说明。 一、定义与核心特征 半...
特征值非负:半正定矩阵的所有特征值都大于等于0。这是判断一个矩阵是否为半正定的一个重要依据。 对角元素非负:对于半正定矩阵,其对角线上的元素(也称为主对角线元素)也都大于等于0。但需要注意的是,这个条件并不是充分的,即对角元素非负的矩阵不一定是半正定的。 合同变换保持半正定性:如果一个矩阵A是半正定...
② 定义:给定一个大小为n×n的实对称矩阵A,若对于任意长度为n的向量x,有xTAx≥0恒成立,则矩阵A是一个半正定矩阵。 注:根据正定矩阵和半正定矩阵的定义,我们也会发现:半正定矩阵包括了正定矩阵,与非负实数 ( non-negative real number ) 和正实数 ( positive real number ) 之间的关系很像。
建议考研的学生,可以扩充下半正定矩阵的相关知识。 考研中多个题目涉及到这里。 知识汇总如下(仅研究实二次型对应的实对称矩阵): 1、定义: 对于任意的x≠0,二次型xTAx≥0,则称二次型是半正定的,对应的矩阵也是半正定的。 2、充要条件 (③④⑤⑥⑦出了非严格形式的证明,②一般不需要掌握证明): ...
半正定矩阵是线性代数中一类重要的实对称矩阵,其核心特征体现在对称性、非负二次型及非负特征值三个条件上。具体来说,半正定矩阵需满足自身与其转置相等,对任意非零向量生成的二次型非负,且所有特征值均非负。以下从这三个维度展开说明。 一、对称性条件 半正定矩阵必须是实对称矩阵...
半正定矩阵在数学、物理、经济学等学科中都有广泛的应用。 具体而言,给定一个n阶实对称矩阵A,如果对于任意非零向量x,都有x^T * Ax ≥ 0,其中x^T代表x的转置,那么矩阵A被称为半正定矩阵。 半正定矩阵的定义表明,对于任意非零向量x,通过向量与半正定矩阵的乘法计算得到的结果都是非负的。这种性质使得半正定...
半正定矩阵 定义:设 A 是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵 X 有 X AX≥0,就称 A 为半正定矩 阵。 2.4. A∈Mn(K)是半正定矩阵的充要条件是:A 的所有顺序主子式大于或等于 零。 若X AX>0,则为正定矩阵。 ©2022 Baidu |由 百度智能云 提供计算服务 | 使用百度前必读 | 文库协议...
是一个半正定矩阵。 根据正定矩阵和半正定矩阵的定义,我们也会发现:半正定矩阵包括了正定矩阵,与非负实数 (non-negative real number)和正实数 (positive real number)之间的关系很像。 图1 正实数与负实数,图片来源于https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number ...