代数几何研究就是平面解析几何与三维空间解析几何的推广。大致说来，它是研究n维仿射空间或n维射影空间中多项式方程组的零点集合构成的几何对象之特性及其上的三大结构：代数结构，拓扑结构和序结构。此三大结构是Bourbaki学派（布尔巴基）所提出，用来统摄结构数学，数学中凡是具有结构特征的板块，均由这三大母结构及其混合...
从而我们可以定义代数簇的数值不变量和连续不变量 , 使我们将不同构的代数簇区别开来 .而分类问题的另一个显著特点是当存在着不同构对象的一个连续族时 , 参量空间本身往往可赋予代数簇的结构 .这 是一个强有力的工具 , 故代数几何的全部技巧不但可以用来研究那些原来的代数簇 , 而且也可用来研究参量空间 . ...
《代数几何学原理(Éléments de géométrie algébrique)》是代数几何的经典著作 , 由法国著名数学家 Alexander Grothendieck(1928—2014) 在 J. Dieudonné 的协助下于20世纪50—60年代完成 . Grothendieck 首次在代数几何中引入了概形的概念 , 并系统地展开了概形的基础理论 . Éléments de géométrie algébr...
经典代数几何的主要研究对象是“代数簇”(algebraic variety),最简单的代数簇(也称为代数集)是一组多元多项式的零点集合。 当其中的各个多元多项式都是一次多项式时,那么它就是线性代数中所研究的线性方程组,此时的代数簇就是我们都熟悉的线性方程组的解空间。然而当多项式...
1.2、代数簇的奥秘 代数簇是代数几何的核心对象，它们是由多项式方程定义的点集。例如，二次方程 ax^2 + by^2 + cz + dw = 0 描述了一个椭圆曲线，这是一个具有美丽对称性的一维代数簇。椭圆曲线在密码学中的应用，尤其是RSA加密算法，展示了代数几何在现代科技中的实际价值。1.3、 概形的革命 20世纪...
代数几何是现代数学的基石,因为它与多个关键领域密切相关。但是你知道吗,没有六项重要发现,代数几何是不可能存在的?我们回到17世纪,从射影几何中的德沙格定理(Desargues' Theorem)开始,这是代数几何的根源所在。 要理解它,我们从画两个...
算术代数几何，以数论中的问题为背景或目的，而使用代数几何学的方法的课题。又称算术几何或丢番图几何。示例 例如，考虑一组整系数代数方程的整数解，是数论的问题。而这一组方程自然决定一个代数簇，因此代数几何的方法自然与数论问题挂上钩。特别是，由于概型理论把代数几何和代数数论统一到一个共同的框架中，使得...
这篇文章刊载于1992年(第11卷)《数学译林》的第3期,它其实是法国国家科研中心所写的关于现代数学各领域发展状况的一本书的第三章。该篇文章不仅讲了代数几何的部分分支的发展状况,还介绍了与数论相关的算术代数几何的一些进展。 图1:《数学译林》第205页 ...