正确答案:本题看似是二重积分问题,事实上,用代换t=xy可将累次积分化为定积分.在∫01(xy)xydy中,视x为常数,令t=xy,dt=xdy,当y从0变到1时,t从0变到x,则于是也就是要证明 一∫01ttln tdt=∫01ttdt,移项后就是要证明 ∫01tt(1+ln t)dt=0. 事实上, tt(1+ln t)dt=etlnt(1+ln t)dt=etl...
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【题目】求下列齐次方程的通解:(1) xy'-y-√(y^2-x^2)=0 :(2) x(dy)/(dx)=ylny/x ;(3) (x^2+y^2)dx-xydy=0
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【解析】 (1) dx+xydy=y=y^2dx+ydy =(xy-y)dy=(y^2-1)dx =(x-1)ydy=(y^2-1)dx ==ydy/(y2-1)=dx/(x-1) 两边积分得 ln(y^2-1)/2=ln(x-1)+lnC =-y^2-1=e^(-1)[C(x-1)^2] ==y=±(e^[C(x-1)2]+1)^(1/2). (2) (3) xdy+dx=e^(ydx) =xdy=(e^y-...