(1) Tietze定理要点:- 前置条件:X是正规空间(T4),A是其闭子集- 核心结论:A上定义的实值连续函数可保持连续性及有界性扩张到全空间- 细分版本:有界与无界情形的统一表述(2) 正则性证明结构:Step1 由完全正则性定义,构造分离函数f Step2 用f的逆像构造开集:U包含x,V覆盖C Step3 验证U∩V=∅,通过函数值...
但是,附加某些不太过分的条件之后,这是可以被做到的。Tietze 的一个定理就给出了这样的例子。 定理(Tietze)设X是度量空间,C是其闭子空间,则任意C到R的连续映射f都可扩张到X上,即总存在g:X→R是连续映射,且g|C=f。 为了对它的证明,我们先做一些准备工作,定义X中点q到X子集A的距离d(q,A)=infd(q,a...
这一实例生动地揭示了闭集性质在连续函数扩张中的不可或缺性,为后续Tietze扩张定理的引入和深入研究奠定了坚实的基础,如同奏响了一曲引人入胜的前奏,引导我们逐步深入拓扑学的核心领域。 二、Tietze扩张定理的核心内容与精妙证明 Tietze扩张定理犹如一颗耀眼的明星,在拓扑学的天空中闪耀着独特的光芒。其核心论断简洁而...
本期微课——Tietze扩张定理 延拓是分析中常用的技术,将一个小集合上的“好”函数延拓到大集合上,从而可以运用更多的工具、看到更多的性质。例如,如果能将某个集合上的连续函数延拓到一个闭区间上,那么就可以使用维尔斯特拉斯逼近定理;再比如,如果能将一...
3.6. Tietze扩张定理是一般拓扑学的第33集视频,该合集共计40集,视频收藏或关注UP主,及时了解更多相关视频内容。
(Tietze扩张定理)设$$ D \subset R ^ { n } $$为闭子集, f:D→R为连续函数,且$$ | f ( x ) | \leq M , x \in D $$.设$$ g _ { 0 } ( x ) = 0 $$g_{k}(x)归纳定义为$$ g _ { k } ( x ) = \frac { 2 ^ { k - 1 } d ( x , A _ { k } )...
§6.3 Urysohn 引理和引理和 Tietze 扩张定理扩张定理 本节重点: 掌握 Urysohn 引理的内容(证明不要求); 掌握定理 6.3.2 的证明方法. 定理 6.3.1 [Urysohn 引理]设 X 是一个拓扑空间,[a,b]是一个闭区间.则X 是一个正规空间当且仅当对于 X 中任意两个无交的闭集 A 和 B,存在一个连续映射 f:X→[...
Urysohn引理和Tietze扩张定理.ppt,§ 6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理 定理6.3.1 设X是一个拓扑空间, 是一个闭区间,则X是一个正规空间当且仅当对于X中的任意两个无交的闭集A和B,存在一个连续映射 使得当 时 和当 时 * * * * * * 证明:充分性 由于 ,因此我们只要证明[a,b
内容提示: §§ 6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理 定理6.3.1 设X是一个拓扑空间, 是一个闭区间,则X是一个正规空间当且仅当对于X中的任意两个无交的闭集A和B,存在一个连续映射 使得当 时 和当 时 [ , ] a b: [ , ] f X a b x A x B ( ) f x a ( ) f x b ...
1. 我们需要澄清Tietze扩张定理的内容。Tietze扩张定理表述如下:对于一个紧致的Hausdorff拓扑空间X和X上的实数值连续函数f,如果f定义在X的一个闭子集A上,那么可以在整个X上扩张成一个连续函数。 2. 证明的第一步是利用X的紧致性和Hausdorff性质,运用拓扑学基本定理证明X上的实数值连续函数都是有界的。这一步骤是...