(∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx⋅∫abg2(x)dx(柯西-施瓦茨不等式); (∫ab[f(x)+g(x)]2dx)12≤(∫abf2(x)dx)12+(∫abg2(x)dx)12(闵可夫斯基不等式). 证法一: 因为对任意t∈(−∞,+∞),都有 [f(x)t−g(x)]2≥0, 也即 f2(x)t2−2f(x)g(x)t+g2(x)≥0. 因此...
由\displaystyle F(x)\geq\frac{1-x^3}{2} 可得\int_0^1\,F(x)\mathrm{d}x \geq \int_0^1\frac{1-x^3}{2}\mathrm{d}x=\frac{3}{8}\\ 下面运用分部积分法来计算 \displaystyle \int_0^1\,F(x)\mathrm{d}x\begin{align} \int_0^1\,F(x)\mathrm{d}x &=xF(x)\Big]_0^1-...
积分变上限函数 08:01 含参变量反常积分取极限 10:26 able判别法与weierstrass判别法 05:16 stolz公式的函数形式 07:50 wallis公式(点火公式)的应用 05:20 广义积分与函数列极限的交换性问题 08:33 单调有界原理 13:08 比较判别法的极限形式 10:12 schwarz不等式,无条件极值 13:04 定积分的定义 08:18 凸...
柯西-施瓦茨不等式的积分表述为：若函数[公式]和[公式]在区间[公式]上黎曼可积，那么有[公式]。这个不等式是柯西不等式的推广，高中课本中我们已经接触过二维形式的柯西不等式[公式]，而其一般形式[公式]。将这个一般形式应用到题目中，通过积分定义，原题12要求证明[公式]。尽管试题并未在考试中出现...
其中，f(x)和g(x)的点积定义为: 接下来，我们看几个具体的例题来直观理解这个不等式：例题1：设f(x) = x^2 和 g(x) = 3x，在区间[0, 1]上： 例题2：如果f(x) = cos(x) 和 g(x) = sin(x)，在区间[0, π/2]： 通过这些实例，我们可以看到Cauchy-Schwarz不等式不仅限于理论...
本文将围绕Cauchy-Schwarz不等式积分形式展开探讨,深入理解其数学意义和应用价值。 2. Cauchy-Schwarz不等式回顾 Cauchy-Schwarz不等式是代数学中常用的一个不等式,表示为:对于给定的内积空间中的任意两个元素a和b,有|\langle a,b\rangle|^2 \leq \langle a,a\rangle \cdot \langle b,b\rangle。其中,\langle...
由不等式证明左式:故由得:即故同样的思路由得:即故即当且仅当时等号成立即再由求得取即可(1):由Caushy—Schwarz不等式证明左式:∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx≥(∫abf(x)g(x)dx)2故∫01f(x)dx.∫011f(x)dx≥∫01f(x).1f(x)dx=1由1≤f(x)≤3得:(f(x)−1)(f(x)−3)≤0∴(f(x)...
可以用下面的方法来证明柯西不等式的积分形式。方法一：构造辅助函数求导证明 令 求导有 故F(x)在区间[a,b]上单调递减， ，移项后即证明了原不等式。方法二：构造非负的二次函数 考虑关于实数 的二次函数 对于开口向上的非负二次函数，其判别式应满足 移项后即证原不等式。方法三：利用重积分 利用式子 ...