目录 收起 QR分解求特征值: 原理: QR分解求特征值: 矩阵A可分解为正交矩阵Q与上三角矩阵R的乘积,表示为: A=Q1R1 A1=R1Q1 Ai=Qi+1Ri+1 ... ... Ai+1=Ri+1Qi+1 重复次数k趋近于无限大时, Ak 会趋近于一个上三角矩阵,其对角线上的值即为特征值。 原理: 由Ai=Qi+1Ri+1 可得 ...
它基于矩阵的QR分解,通过迭代得到一个上三角矩阵,该矩阵的对角线上的元素就是原矩阵的特征值,而对应的特征向量可以通过反向迭代求得。 QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积的过程。对于一个实对称矩阵A,可以通过QR分解得到A=QR,其中Q是一个正交矩阵,R是一个上三角矩阵。在QR迭代法中,...
QR 迭代法是求解特征值和特征向量的一种有效方法。 二、QR 迭代法求特征值特征向量的原理 1.QR 分解的概念 QR 分解是一种常用的矩阵分解方法,它可以将一个非奇异矩阵 A 分解为一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R 的乘积,即 A=QR。其中,正交矩阵 Q 的列向量是标准正交基,上三角矩阵 R 的对角线元素为...
QR迭代法是一种基于矩阵分解的数值方法,它可以用来求解一个实方阵或复方阵的特征值和特征向量。QR迭代法的基本思想是通过不断地对矩阵进行正交相似变换,将矩阵转化为上三角矩阵或者对角矩阵,从而得到矩阵的特征值和特征向量。QR迭代法的优点是收敛速度快,精度高,适用于大规模矩阵求解。 QR迭代法的步骤如下: 1.将待...
qr迭代法是一种迭代算法,通过不断迭代矩阵的qr分解来逼近矩阵的特征值和特征向量。 2. qr分解 qr分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。qr分解可以用于求解线性方程组、最小二乘问题等。对于一个n阶矩阵A,它的qr分解可以表示为A=QR,其中Q是一个n阶正交矩阵,R是一个上三角矩阵。 3. ...
QR迭代法求矩阵特征值
可以展开并简化公式：公式12: Ai = PiDiP-i 当i趋向于无穷大时，公式12中的矩阵趋于对角矩阵。对矩阵A进行QR分解时，通过Gram-Schmidt正交化原理，可以逐步构造出一个正交矩阵Q，并通过迭代得到与原矩阵A等价的上三角矩阵R。通过迭代QR分解，可以得到矩阵A的特征值，其对角线元素即为所求特征值。
结果展示 总结 使用QR分解迭代求特征值,收敛的比较快,也可以求出所有的特征值,但是如果要求特征向量的话,还是需要求解线性方程组(感觉很麻烦)
不妨令，对进行QR分解得到:令，很明显，对再进行QR分解：继续令，可以看到，同理，我们不断去进行QR分解，最终就会得到：因此，与拥有相同的特征值。特别的，当时，有，将记作，那么和就分别是正交的特征向量矩阵和对角线元素为特征值的对角阵。有了上述理论介绍，我们已经知道了如何去进行QR迭代求特征值，下面...