目录 收起 QR分解求特征值: 原理: QR分解求特征值: 矩阵A可分解为正交矩阵Q与上三角矩阵R的乘积,表示为: A=Q1R1 A1=R1Q1 Ai=Qi+1Ri+1 ... ... Ai+1=Ri+1Qi+1 重复次数k趋近于无限大时, Ak 会趋近于一个上三角矩阵,其对角线上的值即为特征值。 原理: 由Ai=Qi+1Ri+1 可得 ...
R=np.linalg.qr(A)# QR分解A=R @ Q# 更新矩阵Aifnp.all(np.abs(A-np.diag(np.diag(A)))<tolerance:# 检查收敛breakreturnnp.diag(A)# 返回特征值# 示例矩阵A=np.array([[4,1],[2,3]])eigenvalues=qr_iteration(A)print("特征值:",eigenvalues)...
它基于矩阵的QR分解,通过迭代得到一个上三角矩阵,该矩阵的对角线上的元素就是原矩阵的特征值,而对应的特征向量可以通过反向迭代求得。 QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积的过程。对于一个实对称矩阵A,可以通过QR分解得到A=QR,其中Q是一个正交矩阵,R是一个上三角矩阵。在QR迭代法中,...
QR迭代法是一种基于矩阵分解的数值方法,它可以用来求解一个实方阵或复方阵的特征值和特征向量。QR迭代法的基本思想是通过不断地对矩阵进行正交相似变换,将矩阵转化为上三角矩阵或者对角矩阵,从而得到矩阵的特征值和特征向量。QR迭代法的优点是收敛速度快,精度高,适用于大规模矩阵求解。 QR迭代法的步骤如下: 1.将待...
QR反迭代法是一种用于求解矩阵特征值的数值方法。下面我们将通过步骤和代码来实现这一算法,并详细解释每一步。 整体流程 我们将QR反迭代法的过程分为以下几个步骤: 接下来我们逐步详解每一部分的实现。 步骤详解 步骤1:初始化矩阵 我们需要一个要计算特征值的矩阵。这里我们以一个简单的2x2矩阵为例: ...
可以展开并简化公式：公式12: Ai = PiDiP-i 当i趋向于无穷大时，公式12中的矩阵趋于对角矩阵。对矩阵A进行QR分解时，通过Gram-Schmidt正交化原理，可以逐步构造出一个正交矩阵Q，并通过迭代得到与原矩阵A等价的上三角矩阵R。通过迭代QR分解，可以得到矩阵A的特征值，其对角线元素即为所求特征值。
最终迭代将得到$l$维特征子空间的一组正交基。这种迭代法即正交迭代法。 四、QR迭代法 由上节自然想到,取$l = n$ 为矩阵$A$的维度时,将会得到全部的特征向量和特征值。定义 $$ T_k=Q_k^*AQ_k $$ 则$T_k=Q_k^*Z_{k+1}=Q_k^*Q_{k+1}R_{k+1} \rightarrow R_k,\ k\rightarrow ...
具体来说,首先对矩阵 A 进行 QR 分解,得到矩阵 Q 和 R,然后计算矩阵 R 的特征值和特征向量。接着,用矩阵 Q 和 R 的特征值和特征向量更新矩阵 A 的近似特征值和特征向量。反复进行这个过程,直到矩阵 A 的近似特征值和特征向量满足预设的精度要求。 三、QR 迭代法求特征值特征向量的步骤 1.初始化矩阵 A ...
QR分解迭代求特征值——原⽣python实现（不使⽤numpy）QR分解：有很多⽅法可以进⾏QR迭代，本⽂使⽤的是Schmidt正交化⽅法 具体证明请参考链接 迭代格式 实际在进⾏QR分解之前⼀般将矩阵化为上hessnberg矩阵（奈何这个过程⽐较难以理解，本⼈智商不够，就不做这⼀步了哈哈哈）迭代终⽌条件 ...
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