Polya定理，也被称为Polya计数定理或群论计数定理，是由匈牙利数学家乔治·波利亚（George Pólya）于20世纪初提出的。该定理是组合数学中的一个强大工具，用于计算置换群下的组合对象数量。它在组合计数问题中具有广泛的应用，尤其在对称性问题上。为了更好地理解Polya定理，我们首先需要了解一些基本概念：1. 置换（Per...
Polya原理（Redfield-Polya 定理）是组合数学理论中最重要的定理之一。自从 1927 年 Redfield 首次运用 group reduction function 概念，现在称之为群的循环指标（circle index of a group），至今 60 多年来，它在许多实际计数问题上得到了广泛的应用，它以置换群为理论基础，与生成函数有机地结合在一起，揭示了...
证明:我们直接考虑\sum_{c\in C}\frac{|G(c)|}{|N|}的组合意义,注意到一类等价的颜色(指存在作用使之变得相同)共有\frac{|N|}{|G(c)|}个,那么记Cat指category( )为种类数,式子可以改写为\sum_{i=1}^{Cat}\frac{|G(c)|}{|N|}\times\frac{|N|}{|G(c)|}=Cat,从定义即证 Polya定理 ...
Polya计数定理 UTechMaGic0xAE 教师资格证持证人 目录 收起 基本概念 性质 Polya计数定理 基本概念 考虑一类着色问题,一些不同的着色方案在表现出来的情况是相同的,比如对正五边形使用黑白染色,不同的染色方式有 25=32 种,但是很多种方案可以有其中部分方案旋转、对称、翻转得到,因为有效的染色方案只有8种. ...
Polya 定理又称作 Burnside 定理,它是在群论中被提出来的一个基本问题。该定理的定义如下: 设G 是一个有限群,α 是一个作用在集合 X 上的置换群,N 是 X 的颜色数,则 X 的置换群在等价关系下的集合数目为: L(G, α, N) = 1/|G| * Σg∈G N^{C(g)} 其中,|G| 表示 G 的阶,即 G 中元...
Polya定理 其实就是 Burnside引理 的一种特殊情况。 |X/G|=1|G|∑g∈G|B|c(g) 其中c(g) 表示置换 g 拆分出来的轮换数量。 证明只需要考虑 |B|c(g)=|Xg| . 因为置换可以写成几个轮换的形式,那么若要求 X 中的一个映射是关于 g 的不动点,那么每一个轮换的映射是一样的即可。每一个轮换有 |B...
母函数形式的Polya定理是设G是n个对象的一个置换群{a1,a2,...,ag}，用m种颜色涂染这n个对象，为求不同的染色方案，引入循环指数多项式。设G是n个对象的一个置换群{a1,a2,...,ag}，用m种颜色 涂染这n个对象，为求不同的染色方案，引入循环指数多项式 其中，不防设P(G)多项式化简后的任一项为 ,...
Polya定理 设AA 和BB 为有限集合, X=BAX=BA 表示所有从 BB 到AA 的映射。 GG 是AA 上的置换群, X/GX/G 表示GG 作用在 XX 上产生的所有等价类的集合(若 XX 中的两个映射经过 GG 中的置换作用后相等,则他们在同一等价类中),则 |X/G|=1|G|∑g∈G|B|c(g)|X/G|=1|G|∑g∈G|B|c(g)...
用排列组合就是,4 个点的着色就是 3*3*2*1,如果再加旋转和翻转,排除重复也很困难。但是用波利亚定理就简单了。结构前面计算过了,四种置换:①不动:四个单独不动的:(1)⁴。②③±90° 两种分别各四个顶点换了位置的:2×(4)¹。④180°:(2)²。每个循环有三种...