Polya定理，也被称为Polya计数定理或群论计数定理，是由匈牙利数学家乔治·波利亚（George Pólya）于20世纪初提出的。该定理是组合数学中的一个强大工具，用于计算置换群下的组合对象数量。它在组合计数问题中具有广泛的应用，尤其在对称性问题上。为了更好地理解Polya定理，我们首先需要了解一些基本概念：1. 置换（Per...
Polya原理（Redfield-Polya 定理）是组合数学理论中最重要的定理之一。自从 1927 年 Redfield 首次运用 group reduction function 概念，现在称之为群的循环指标（circle index of a group），至今 60 多年来，它在许多实际计数问题上得到了广泛的应用，它以置换群为理论基础，与生成函数有机地结合在一起，揭示了...
Polya 定理 设G=\{\pi_1,\pi_2,\pi_3,...,\pi_k\}是X=\{a_1,a_2,a_3,...,a_n\} 上一个置换群, 用m 种颜色对 X 中的元素进行染色,那么不同的染色方案数为: \frac{1}{|G|} * \sum\limits_{i=1}^{k} m^{C(\pi_i)} 在xcpc中的置换主要是旋转(rotate)和翻转(reflection ...
Polya 定理又称作 Burnside 定理,它是在群论中被提出来的一个基本问题。该定理的定义如下: 设G 是一个有限群,α 是一个作用在集合 X 上的置换群,N 是 X 的颜色数,则 X 的置换群在等价关系下的集合数目为: L(G, α, N) = 1/|G| * Σg∈G N^{C(g)} 其中,|G| 表示 G 的阶,即 G 中元...
波利亚(Polya)定理 目录 •波利亚定理的概述•波利亚定理的证明•波利亚定理的应用•波利亚定理的扩展和推广•总结与展望 01波利亚定理的概述 波利亚定理的定义 波利亚定理是数学中的一个基本定理，它指出一个二维区域内的任何封闭曲线，如果与该区域内的任意直线至少相交一次，那么这个封闭曲线必然完全位于该...
用排列组合就是,4 个点的着色就是 3*3*2*1,如果再加旋转和翻转,排除重复也很困难。但是用波利亚定理就简单了。结构前面计算过了,四种置换:①不动:四个单独不动的:(1)⁴。②③±90° 两种分别各四个顶点换了位置的:2×(4)¹。④180°:(2)²。每个循环有三种...
母函数形式的Polya定理是设G是n个对象的一个置换群{a1,a2,...,ag}，用m种颜色涂染这n个对象，为求不同的染色方案，引入循环指数多项式。设G是n个对象的一个置换群{a1,a2,...,ag}，用m种颜色 涂染这n个对象，为求不同的染色方案，引入循环指数多项式 其中，不防设P(G)多项式化简后的任一项为 ,...
Polya定理 设AA 和BB 为有限集合, X=BAX=BA 表示所有从 BB 到AA 的映射。 GG 是AA 上的置换群, X/GX/G 表示GG 作用在 XX 上产生的所有等价类的集合(若 XX 中的两个映射经过 GG 中的置换作用后相等,则他们在同一等价类中),则 |X/G|=1|G|∑g∈G|B|c(g)|X/G|=1|G|∑g∈G|B|c(g)...
由Polya定理可知 N = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} n^{c(g)}=\frac{1}{n}\sum_{g\in G} n^{c(g)}\\ 直接遍历群G肯定是不行的。注意到每个G中元素和1所在的位置一一对应,我们用c(i)表示1所在位置为i+1的置换的轮换数,不难得出c(i) = gcd(n,i),因为p,q属于同一个轮换,当且仅...