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因为 x=ln e^x 又因为 e^x>x+1（当x>0时，画出y=e^x 与y=x+1的图像可知）所以两边取对数即得到x>ln(1+x）
则当x>0时，f(x)=ln(1+x)-x<f(0)=0。所以，x>0时，ln(1+x)<x。
设f（x）=ln(1+x)—x， 因为 f’（x）=1/(1+x)—1=—x/(1+x)，又x＞0，所以f’（x）＜0，即函数 f（x）=ln(1+x)—x 在(0,+∞)上单调递减，而f（0）=0，所以当x＞0时，ln(1+x)—x＜0，故 当x＞0时，ln(1+x)＜x....
ln（1＋x）＜x
【答案】：[证明]令f(x)=ln(1+x)-x，则f(0)=0，f'(x)=＜0，所以，f(x)在(0，+∞)内单减，从而当x＞0时，f(x)＜f(0)=0，即ln(1+x)＜x．[点评]此结论可以直接使用．
想一下图像，ln（x+1）的图像就是把lnx的图像往左移动一个单位长度，而y=x的图像在原点是和ln（x+1）相切的，且ln（x+1）的图像在y=x的图像下面，所以ln（x+1）<x，不知道是不是你想问的，具体为什么这样放缩不会放得太大，这是大学里的知识，即在x=0附近ln（x+1）和x是等价无穷小...
所以ln(1+x)<x,在看左边：在x=0时x/(1+x)=ln(1+x)=0;当x>0时 对x/(1+x)和ln(1+x)分别求导数，[1/(1+x)]'=[(1+x)-x/(1+x)^2]=1/[(1+x)^2][ln(1+x)]'=[1/(1+x)]两导数作比：[1/(1+x)]'/[ln(1+x)]'=1/[(1+x)^2]/[1/(1+x)]=1/(1+...
原式中的X是代表一个固定的值，而当成斜率式时的X是代表一个范围，看起来可能是错的，但是这个范围是...
然而，你的推导有一些问题。首先，ln(1+x)的极限并不是x，而是0。其次，即使你把两个无穷小量写成极限的形式相加，它们也不一定是等价无穷小。因此，我们不能简单地得出结论说，两个无穷小量的和为0。在数学中，我们需要更加精确地分析问题，而不能简单地凭借直觉得出结论。