勒让德变换(Legendre Transformation)在数学上是从一组独立变量到另一组独立变量的变换。Legendre变换在物理中应用很多,例如经典力学里Lagrange力学中的广义坐标和广义速度变换为Hamilton力学中的广义坐标和广义动量,以及热力学函数 U,H,F,G 之间的变换等。[1] 1. 单变量函数的Legendre变换 考虑函数 f(x) ,它是关...
Legendre变换是数学和物理学中用于揭示函数对偶关系的一种重要技巧,其核心在于通过原函数的导数信息构造新函数,从而在不同变量框架下分析
Legendre变换是物理(力学,热力学),数学中常用的一种变换。它把可微凸函数从关于原自变量x的函数变为关于点导数(梯度)的函数。也就是如果记k=dfdx,那么把原函数(x,f(x))变换为(k,f∗(k))。 但是Legendre变换要求函数可微,Fenchel变换可以理解为对Legendre变换的推广,作用类似而不需要函数是可微的。
首先,从数学角度来讲,对于一个最简单的情形而言,Legendre变换指的是如下图所示: 总而言之,它就是一种换一种方式描述同一个对象、且保证信息不丢失的对应方式。 分析力学中的Legendre变换就是把刻画一个力学体系的动力学行为的表述方式从用Lagrangian变为Hamiltonian,对同一个体系从不同 的角度(由位置与速度变为位...
于是由Legendre变换可以由一组独立变量变换到另一组独立变量,如: 2.特性函数 由一个热力学函数可通过求偏导数得到其他所有的热力学函数,由 可得 , , 。 对热力学函数求偏导数可以解决一些在系统中难以测量的热力学量的问题,如 故 , ,...
Hamilton力学 第一类生成函数 Part 03 Hamilton-Jacobi变换-01 概述 Lagrange系统 经Legendre变换 至Hamil 154 0 27:38 App Lagrange系统与至Hamilton系统之间的转换-Part 06-Hamilton-Jacobi方程的求解方法-03-嵌套形式 7226 11 45:09 App 北京某高校《分析力学》(2025)(第一周、第一小节) 63 0 24:44 App ...
🔄 推广:将Frobenius流形的Legendre变换稍加推广,使其适用于单位向量场非平坦的广义情形。取关于度量n的平坦坐标u,在此坐标下记,则张量B在该坐标下的系数矩阵(B8)为。于是,b为Frobenius乘法的可逆元当且仅当矩阵(B8)处处可逆;而VB是2-对称性等价于B=B。常见的例子是,如果b在平坦坐标下的各分量系数b~都是...
1. 单变量函数的Legendre变换 考虑函数f，它是关于x的一元函数，具有全微分df。若想用切线斜率来定出f在某点的函数值，还需要知道这条切线在纵轴的截距，我们记为c，从而定出f(x)。由于上式对任意x都成立，我们可以扩展到任意位置。如果x和f(x)之间是一一对应的映射，则反函数存在，截距可以表示为...
该过程的变换就为legendre变换。神乎其技的操作让数学不好的读者一脸懵逼,还是给个具体案例理解起来会比较容易一点。 则: 我们来尝试一下使用g(u,y)=ux-f(x,y),求h(u,y): 显然h(u,y)≠g(u,y),所以是legendre变换错了?理所当然是我们错了。h(u,y)求u的偏导 : ...