性质6:(Legendre公式) Γ(12)Γ(2s)=22s−1Γ(s)Γ(s+12) 证: 由Γ函数定义可知 Γ(12)Γ(s)Γ(s+12)=2s(s+12)e2γs∏n=1∞(1+sn)e−s/n⋅(1+2s2n+1)e−s/n=se2γs(1+2s)∏n=1∞(1+2s2n)e−2s2n⋅(1+2s2n+1)e−2s2n+1e−2s(12n−12n+1).=121Γ(2s...
Legendre函数是数学物理中常见的正交函数,主要用于球对称问题的求解。Legendre微分方程为(1−x²)y''−2xy'+n(n+1)y=0,其多项式解(第一类Legendre函数)即Legendre多项式。通过Rodrigues公式可直接计算各阶多项式,如P₀(x)=1,P₁(x)=x,P₂(x)=(3x²−1)/2等。Legendre多项式在区间[-1,1]上...
在函数逼近理论中,Legendre正交基构成了L^2[-1,1]空间的一组完备基。任意平方可积函数f(x)均可展开为Legendre级数f(x)= ∑_n=0^∞ c_n P_n(x),其中系数c_n= (2n+1)/2 ∫_-1^1f(x)P_n(x)dx。这种展开在数值积分中具有特殊优势,高斯-勒让德求积公式正是基于Legendre多项式的零点特性构建,能够...
Legendre函数当n为偶数的时候勒让德多项式pnx为偶函数当n为奇数的时候pnx为奇函数此外也提及一下勒让德函数的正交性相等的时候可以求出其模 Legendre函数 阿德利昂·玛利·埃·勒让德(公元1752─公元1833)为法国数学家,生于巴黎,卒于巴黎。约1770年毕业于马扎兰学院。1775年任巴黎军事学院数学教授。1782年以《关於...
Legendre变换是物理(力学,热力学),数学中常用的一种变换。它把可微凸函数从关于原自变量x的函数变为关于点导数(梯度)的函数。也就是如果记k=dfdx,那么把原函数(x,f(x))变换为(k,f∗(k))。 但是Legendre变换要求函数可微,Fenchel变换可以理解为对Legendre变换的推广,作用类似而不需要函数是可微的。
Legendre函数的母函数(生成函数)定义为:(1 - 2xt + t²)^(-1/2)。此函数在|t| < 1的条件下展开成关于t的幂级数时,其展开式中t^n项的系数即为第n阶Legendre多项式P_n(x)。该母函数通过泰勒展开或积分表示可严格推导出Legendre多项式,是解决带勒让德方程相关问题及级数展开的基础工具。题目仅要求母函...
伽马函数的基本性质(4)——Legendre公式 推导了伽马函数的又一基本性质——Legendre公式,为后文做出了一点准备
Legendre函数具有良好的解析性质和对称性 。Bregman散度定义基于凸函数的梯度信息 。Legendre函数在正交多项式理论中地位重要 。特定凸函数下Bregman散度有直观几何解释 。Legendre函数能用于求解某些偏微分方程 。Bregman散度非负且仅在两点相同时为零 。 Legendre函数满足特定的递推关系 。不同凸函数产生的Bregman散度性质...
生成函数是一种将数列与函数联系起来的工具,通过将一个数列表示为幂级数形式,可以更方便地进行求解和分析。Legendre多项式的生成函数是其独特之处,也是引人注目的。 Legendre多项式的定义 Legendre多项式可以使用递归关系定义。设Pn(x)是n次Legendre多项式,则其定义如下: •P0(x) = 1 •P1(x) = x •Pn(x...
定义连带Legendre函数 (24)Plm(x)=(−1)m(1−x2)m/2dmPl(x)dxm 规定球谐函数 (25)Ylm(θ,φ)=(l−m)!(l+m)!2l+14πPlm(cosθ)eimθ 这是一个正交归一化的函数,满足 (26)∫0π∫02πYlm∗Yl′m′sinθdφdθ=δmm′δll′ 则通解可以表为 (27)Φ(r,θ,φ)=∑l=0∞...