这里省略推导过程[3],我们直接给出HJB方程的形式: rV(x)=maxu[f(x,u)+V′(x)g(x,u)] 3. 连续随机问题的基本模型(Stochastic differential equation) 3.1.随机微分方程 状态变量的运动可能不是完全确定的,它可能受到随机扰动。为了考察这类问题,我们可以使用伊藤随机积分的某些结论进行求解。下面是关于随机微...
一、HJB方程的定义 HJB方程最初由Hamilton和Jacobi于19世纪提出,后来由Bellman在20世纪50年代提出了更为广泛的形式。它是一个偏微分方程,描述了一个动态系统中最优控制策略的演化过程。具体地说,它给出了在某个时刻t下,某个状态x下采取何种控制u才能使长期收益最大化。 HJB方程通常写成如下形式: $${\frac{\par...
由于HJB方程是一个非线性偏微分方程,其求解并不容易。通常采用以下两种方法进行求解: 3.1 动态规划法 动态规划法是HJB方程求解的经典方法之一。该方法将问题分解为一系列子问题,并通过递归地求解这些子问题来获得最优策略和值函数。 具体步骤如下: 1. 将状态空间离散化,得到有限个状态点。 2. 从终止时间开始,逆向...
HJB方程中的∇xV(t,x)代换哈密顿中的p,是为了明确价值函数对位置变化的敏感性。 其中,∂V∂t(t,x)表示价值函数随时间t的变化率,反映了不采取任何控制动作时,仅由时间流逝导致的价值变化;H(t,x,∇xV(t,x),u)它反映了状态变化对价值函数的影响,我们需要选择一个控制策略u来最小化未来的成本。==...
根据Bellman 最优性原理,最优代价函数是时不变的,并且满足以下离散时间HJB方程其中,最优控制律可通过式(1-5)求解注意,最优控制律满足一阶必要条件,该条件可由式(1-4)右侧部分关于uk的偏导数给出,即于是,进一步得到作为一类特例,具有输入仿射形式的离散时间非线性系统(1-1)表示为...
作为强化学习的一个基础思想,HJB方程从大框架概述了控制优化的方向。这里对其推导与应用进行简述。 定义如下变量: 为过程价值函数,其中S(t)为在t时刻的状态函数,A(t)为在t时刻的动作函数。 为在t时刻状态为S(t)的终点值函数。 我们可以定义如下过程:在[0,T]时间段,最终值函数的表现形式如下: ...
那么我们所说的HJB方程如下: − ∂ V ∂ t ( x ( t ) , t ) = min u ( t ) ∈ R m H ( x ( t ) , u ( t ) , ∂ V ∂ x ( x ( t ) , t ) , t ) -\frac{ \partial V }{ \partial t }(x(t),t)=\mathop{\min}_{u(t)\in R^m}H(x(t),u(t),\...
首先,我们来定义HJB方程。假设我们有一个连续时间的最优控制问题,其中系统的状态变量x(t)满足如下动力学方程: dx(t)/dt = f(x(t), u(t)) 其中,f是关于状态变量和控制变量u(t)的函数。我们的目标是找到一个关于时间t的最优控制策略u*(t),使得给定的初始状态x(0)下,系统在有限时间内到达目标状态。为...
可视化HJB方程 考虑连续的最优控制问题，被控对象是一个ODE，u是控制输入x˙=f(t,x(t),u(t))u∈U,x∈X ODE的解x(t)就是系统的轨迹，其图像是这样的：图1 系统在t=0初值是固定的，目标是调整输入u(t)，将系统镇定到x=0。虚线表示不同输入得到的系统轨迹。最优控制问题可写成：minu(t)l(tf,x(...