Gram-Schmidt 正交化 从这个例子来观察和领悟Graham-Schmidt正交化,这里我们取了一些长度相同的正交向量,为了得到单位向量,我们让向量的长度变为1,例如 \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 2\end{bmatrix} 的向量长度为 \sqrt{1^2 + 2^2 + 2 ^2} = 3,所以我们对矩阵乘以 \frac{1}{3} 就得到了正交矩阵。
二、Gram-Schmidt求正交矩阵: 若有两个线性独立的列向量a,b,求两个列向量的正交矩阵 一)求解步骤 Gram-Schmid的求解如图 1、求垂直分量(去除投影分量) A=不改变向量a, A=a B=求向量b在a上面的投影,b中去除投影部分剩余B,则B与A垂直 B=b−AATbATA 求证A和B正交? 解: ATB=AT(b−AATbATA)=...
这就是傅里叶变化和所有应用数学中各种变化的基础,它们将向量或者函数分解成正交的小片,将这些小片加起来之后就回到了原函数。 3. Gram-Schmidt 正交化和\(A\)的\(QR\)分解 从上面我们可以看到正交对我们是非常有利的,现在我们就要找到一个方法来创造出标准正交的向量。假设我们有三个不相关的向量\(a, b, ...
基于矩阵Gram_Schmidt 正交化，我们可以实现QR分解，即将矩阵分解为正交矩阵Q与三角矩阵R的乘积。首先，我们将矩阵的列向量进行正交化处理，得到单位正交矩阵Q。然后，通过计算Q与原矩阵的乘积，我们得到上三角矩阵R。通过这种方式，我们成功地将原矩阵分解为了正交矩阵与三角矩阵的乘积。以下是代码实现：将原...
在线性代数中,正交矩阵可以用于表示旋转(或翻转)变换。所以A其实对X进行了如下操作: 通过旋转变换使协方差矩阵变为一个对角阵 根据该对角阵绘制椭圆 逆向旋转...变换矩阵A使得V[W]是一个对角阵即可。这里A必须是正规矩阵,如果不是的话那就无法进行逆变换,也就无法还原至原本X的情况了。正规矩阵性质解释如下(...
设矩阵$A$有两个列向量$\Bigg[a_1 a_2\Bigg]$,则标准正交化后有$\Bigg[a_1 a_2\Bigg]=\Bigg[q_1 q_2\Bigg]\begin{bmatrix}a_1^Tq_1&a_2^Tq_1\\a_1^Tq_2&a_2^Tq_2\end{bmatrix}$,而左下角的$a_1^Tq_2$始终为$0$,因为Gram-Schmidt正交化总是使得$a_1\bot q_2$,后来构造...
正交矩阵的特点是其逆矩阵等于转置矩阵，这是矩阵对称性的一个表现。此外，正交矩阵的行列式绝对值为1，这保证了矩阵的体积保持不变。置换矩阵是特殊的正交矩阵，它们通过重排列向量来实现变换。Gram-Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量转化为一组标准正交向量的过程。这一方法首先从一组向量出发，...
标准正交且为方阵才叫正交矩阵 例: 令 表示标准正交列向量的矩阵,假设投影到列空间中,其投影矩阵是什么? 标准公式: 格拉姆-施密特正交化法,使列向量标准正交,缺点在于,这些列向量都必须是单位向量。 例: 线性无关,得到 将 与 ,标准正交化成 ,先求正交 ...
线性代数中，正交矩阵和 Gram-Schmidt 正交化方法对于简化计算和构建标准正交向量至关重要。目标一是理解正交性如何简化[公式]、[公式]、[公式]的处理，使得[公式]成为对角矩阵；目标二是掌握从原始向量中构造正交向量的技术。标准正交基的概念要求向量[公式]满足[公式]的关系。如果一个矩阵的列是标准正交...
这样就将投影矩阵简单化了。 2)求解Ax=bAx=b 在投影矩阵章节我们已经知道:^x=(ATA)−1ATbx^=(ATA)−1ATb 当矩阵A为标准正交矩阵Q时,由于正交矩阵与其转置的乘积为单位矩阵,则上式可以转化为:^x=QTbx^=QTb 三、Gram-Schmidt正交化 1)二维情况 假设原来的矩阵为[a,b],a,b为线性无关的二维向量,下面...