Gram-Schmidt 正交化 从这个例子来观察和领悟Graham-Schmidt正交化,这里我们取了一些长度相同的正交向量,为了得到单位向量,我们让向量的长度变为1,例如 \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 2\end{bmatrix} 的向量长度为 \sqrt{1^2 + 2^2 + 2 ^2} = 3,所以我们对矩阵乘以 \frac{1}{3} 就得到了正交矩阵。
使用一组标准正交基或者一个有标准正交的列的矩阵会让计算变得简单。我们还会讲Gram-Schmidt,Gram-Schmidt可以从任何基开始,生成一个标准正交基,这个标准正交基和原来的基张成相同的空间。 标准正交向量 向量q1,q2,q3,...qn 是标准正交的,是说: 当当qiTqj={0当i≠j1当i=j 换句话说,它们的长度都是1,并且...
在实际应用中，Gram-Schmidt正交化方法的直观理解与实践能力对于理解正交矩阵的性质、处理高维数据与优化计算过程至关重要。通过将非正交基转换为正交基，我们可以更有效地执行投影、求解线性方程、进行特征值分解等操作，从而在数值分析、信号处理、机器学习等多个领域发挥重要作用。
同样的,我们也用矩阵表达标准正交化,$A=QR$。设矩阵$A$有两个列向量$\Bigg[a_1 a_2\Bigg]$,则标准正交化后有$\Bigg[a_1 a_2\Bigg]=\Bigg[q_1 q_2\Bigg]\begin{bmatrix}a_1^Tq_1&a_2^Tq_1\\a_1^Tq_2&a_2^Tq_2\end{bmatrix}$,而左下角的$a_1^Tq_2$始终为$0$,因为Gram-Sc...
线性代数中，正交矩阵和 Gram-Schmidt 正交化方法对于简化计算和构建标准正交向量至关重要。目标一是理解正交性如何简化[公式]、[公式]、[公式]的处理，使得[公式]成为对角矩阵；目标二是掌握从原始向量中构造正交向量的技术。标准正交基的概念要求向量[公式]满足[公式]的关系。如果一个矩阵的列是标准正交...
这样就将投影矩阵简单化了。 2)求解Ax=bAx=b 在投影矩阵章节我们已经知道:^x=(ATA)−1ATbx^=(ATA)−1ATb 当矩阵A为标准正交矩阵Q时,由于正交矩阵与其转置的乘积为单位矩阵,则上式可以转化为:^x=QTbx^=QTb 三、Gram-Schmidt正交化 1)二维情况 假设原来的矩阵为[a,b],a,b为线性无关的二维向量,下面...
线性代数(一)第17讲 正交基,正交矩阵,Gram-Schmidt正交化过程,QR分解。 17-1 正交集是线性无关的。17-2 正交基下线性组合权重值的计算公式。17-3 矩阵U具有单位正交的列向量当且仅当U^TU=I。17-4 矩阵U具有单位正交的列向量,则向量x与向量Ux长度相等。17-5 正交矩阵U^
正交矩阵与gram-schmidt正交化及其QR分解 gram-schmidt正交化QR分解推导 正交矩阵是方阵 标准正交qi^T qj=0 当i不等于j 1 当i等于j 正交矩阵Q举例
我们可以将一组正交向量转化为单位向量组，从而获得一组最佳基。通过具体例子，我们展示了如何应用Gram-Schmidt正交化方法。这一方法是将一组线性无关向量转化为正交向量组的过程，使得基组更易于计算和操作。正交化的过程不仅提高了计算效率，而且为后续的矩阵理论和线性代数应用提供了坚实的基础。
在线性代数中,正交矩阵可以用于表示旋转(或翻转)变换。所以A其实对X进行了如下操作: 通过旋转变换使协方差矩阵变为一个对角阵 根据该对角阵绘制椭圆 逆向旋转...变换矩阵A使得V[W]是一个对角阵即可。这里A必须是正规矩阵,如果不是的话那就无法进行逆变换,也就无法还原至原本X的情况了。正规矩阵性质解释如下(...