{1\over\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\prod_{k=1}^\infty\left(1+{z\over k}\right)e^{-{z\over k}} 通过Gamma函数的其它定义,我们可以发现更多的性质,比如:Gamma函数在z为非正整数时不连续,以及关于Gamma函数导数的一些性质。敬请期待下一期——《Gamma函数的那些事儿(2)——欧拉常数与Digamma函数》...
∑k=1∞1kk=∫01e−uln(u)du=∫01u−udu 我们最终通过补Gamma函数将一个级数转化为了一个简短的定积分。这还只是Gamma函数的冰山一角。 2、欧拉余元公式(Euler's reflection formula)和高斯积分(Gaussian integral) \Gamma(z)\Gamma(1-z)={\pi\over\sin(\pi z)} \\ 这个式子有很多种推导方...
1. 神奇的Gamma函数 1.1 Gamma 函数诞生记 学高等数学的时候,我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数 Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt 通过分部积分的方法,可以推导出这个函数有如下的递归性质 Γ(x+1)=xΓ(x) 于是很容易证明,Γ(x) 函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓,具有如下性质 Γ(n)=(n...
逆gamma函数通常用符号 Γ^(-1)(y) 或 x = Γ^(-1)(y) 来表示。 逆gamma函数在统计学中有着重要的应用。特别是在贝叶斯统计中,逆gamma分布是常用的先验分布之一。逆gamma分布常用于对未知参数的先验分布进行建模。例如,在贝叶斯线性回归中,可以使用逆gamma分布作为回归系数的先验分布。 逆gamma函数在物理学...
解法如下：设z=x+iy,则dz=dx+idy 原式=∫(c) (x-iy)(dx+idy)=∫(c) xdx+ydy + i∫(c) xdy-ydx 将x=0,y：-1→1代入上式 =∫[-1→1] y dy + i∫[-1→1] 0 dy =0 例如：令z＝x＋iy x＝t y＝t 0≦t≦1 ∫c(t-t＋it∧2)d(t＋it)it ＝∫(0.1)（1+i...
1关于伽马函数的一个疑问对于正整数n,有Γ(n)=(n-1)!,我想问既然是阶乘的延展,为什么当初不将gamma函数构造成Γ(n)=n!,也就是将t的指数换为x 2关于伽马函数的一个疑问对于正整数n,有Γ(n)=(n-1)!,我想问既然是阶乘的延展,为什么当初不将gamma函数构造成Γ(n)=n!,也就是将t的指数换为x 3...
所以Gamma函数是广义的阶乘函数,因为对所有的非负整数n,有Γ(n+1)= n!。 但这是推广Gamma函数的唯一方式吗? 不幸的是,答案是否定的。然而,如果我们添加某种约束的话,它就是唯一的了。这个约束与对数凸性(logarithmic convexity)这个概念有关,因为稍微有点偏题,在这里就不详细讲了。具体的要求是函数logΓ是凸的...
1.Gamma函数 首先我们可以看一下Gamma函数的定义: Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t \Gamma(x) = \int _{0}^{\infty}t^{x-1} e^{-t}dt Γ(x)=∫0∞tx−1e−tdt Gamma的重要性质包括下面几条: 1.递推公式: Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) \Gamma(x+1...
Γ(x) = ∫0∞ tx-1 e-t dt, x > 0 在复数域，伽马函数定义为 Γ(z) = ∫0∞ tz-1 e-t dt, Re(z) > 0 伽马函数在实数域的收敛条件是当 x > 0 时。在复数域，伽马函数对于所有非零复数域的 z 均定义。伽马函数的另一个重要性质是与阶乘的联系。当 z 是正整数时，伽马函数...
本期主要讨论欧拉第二类积分,即Gamma函数 欧拉-马歇罗尼常数 这个十分重要的常数是在调和级数中产生的,我们都知道 将积分区间切开,写成以下形式: 因为 在正半轴上单调递减,根据微积分中值定理 令 ,得到 即它俩极限的差收敛到一个0到1之间的常数,此外还可以由此轻松得到调和级数成对数状发散,而这个常数就是欧拉-...