\begin{aligned}B(a+1, b+1) = \frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+2)}\end{aligned}\\由此,应用Beta函数的递推公式 \begin{aligned}B(a,b) = \frac{b-1}{a+b-1}B(a, b-1)=\frac{a-1}{a+b-1}B(a-1, b) ~~(a,b > 1) \end{aligned} \\以及Gamma函数的递推...
在网上没搜到Gamma分布和Beta分布的关系,于是决定自己写一篇。 我是Gamma分布和Beta分布的唯一專家!1 Gamma函数与Beta函数1.1 Gamma函数设 x>0 ,Gamma函数定义为 \displaystyle\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{…
第一个积分也称为beta函数,第二个特别特别常用的积分也称为Gamma函数 (ps:本文中的beta,Gamma函数的变量都是实数,但是需要注意的是它们更广泛的应用都一定会涉及到变量为复数的情况) 欧拉第一类积分 这个积分下限是0,因此收敛的充要条件是p>0,类似地,上限是1收敛的充要条件是q>0, 所以beta函数是在p,q都>0...
Beta函数是一种特殊的函数,用于计算Beta分布的概率密度。Beta函数的定义是:B(α,β) = ∫(0,1) p^(α-1) (1-p)^(β-1) dp,其中α和β都是正数。Beta函数的一个重要性质是它具有对称性,即B(α,β) = B(β,α)。此外,Beta函数和Gamma函数之间也有关系,即B(α,β) = Γ(α) Γ(β) / Γ...
由第三部分,我们知道Beta分布的概率密度函数为: B e t a ( μ∣ , α , β ) = Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 Beta(\mu|, \alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha -1}(1-x...
🎯而Beta函数,在三角函数积分时简直是如鱼得水!它的应用简直让人眼前一亮,解决了很多看似复杂的问题。💡这两个函数的应用,不仅在学术研究中有着广泛的应用,也在我们的日常生活中有着意想不到的作用。比如,在金融、统计等领域,它们都有着不可或缺的地位。
2. Beta函数 B函数,又称为Beta函数或者第一类欧拉积分,是一个特殊的函数,定义如下: B函数具有如下性质: 3. Beta分布 在介绍贝塔分布(Beta distribution)之前,需要先明确一下先验概率、后验概率、似然函数以及共轭分布的概念。 1. 通俗的讲,先验概率就是事情尚未发生前,我们对该事发生概率的估计。利用过去历史资料...
Gamma函数： 定义：Γ = ∫_0^∞ t^ e^ dt，其中z是复数，且Re > 0。 关键性质： 阶乘性质：Γ = !，当n是正整数时。 递推关系：Γ = zΓ。 特殊值：Γ = √π。 重要推论： Γ = √π * 2^ / Γ。 ΓΓ = π / sin。Beta函数： 定义：Β = ∫_0^1 t...
在数学领域，beta函数与gamma函数是超几何函数的理论支柱。通过beta积分，gauss超几何级数在复平面上的延拓得以实现。Mellin-Barnes积分表示则利用了gamma函数特性，使超几何级数统一形式在复平面上延拓成为可能。分数阶微积分，是对牛顿-莱布尼茨微积分的推广，同样依赖于beta和gamma函数。Riemann-Liouville分数阶...