邻近点映射的性质下面这个定理讨论了邻近点映射和次梯度的关系 定理:假设 f:\mathbb{E}\to [-\infty,\infty] 是一个合理(proper:函数不恒等于正无穷且不取负无穷值)闭凸函数,那么以下三个命题是等价的( x,y…
邻近点映射在非光滑凸优化的很多算法中至关重要,第一个研究它的人是Moreau,该映射定义为 proxf(x)=argminu∈E{f(u)+12‖u−x‖2},∀x∈E 邻近点映射是一个set-valued mapping,它将欧式空间 E 中的一个点映射为一个子集 对于可微函数函数来说,邻近点映射将 x 映射为 x−∇f(x) ...
子集介绍：非负卦限和正卦限是所有具有非负分量的向量在公式空间中的子集，分别用符号表示。单位单纯形是所有分量和为1的非负向量集合，用符号表示。Box是给定向量空间中两个向量，以其中一个为下界，另一个为上界形成的矩形区域，用符号表示。子集补充：全体对称矩阵集合用符号表示，全体半正定矩阵集合...
支撑函数 σC(y)=maxx∈C⟨y,x⟩ 通俗来说是集合C的y法向切平面最大截距(集合的闭凸包可以由集合的超平面包络得到) 支撑函数是次线性函数 次梯度和次微分 f(y)≥f(x)+⟨g,y−x⟩,∀y∈E(次梯度) ∂f(x)={g∈E∗:f(y)≥f(x)+⟨g,y−x⟩,∀y∈E}(次微分是次梯度的...
(Ⅱ)\Rightarrow(Ⅲ):令\alpha \in R,若Lev(f,\alpha) = \phi,则结论成立。否则,取序列\{x_n\}_{n \ge 1} \subseteq Lev(f,\alpha),则根据下水平函数的定义知: f(x_n) \le \alpha 故,(x_n,\alpha) \in epif,又因为f是闭函数,因此epif是闭集,设x_n \rightarrow \bar{x}(n\right...
\begin{equation*} S_{+}^n = \{A \in R^{n \times n}| A \ge O\} \end{equation*} (3)全体n \times n正定(positive \quad define)矩阵的集合S_{++}^n 所有n \times n维正定矩阵的全体构成的集合,记作S_{++}^n: \begin{equation*} S_{++}^n = \{A \in R^{n \times n}| A...
在此情况下,(2.8)即等价于说明g(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2) = -\infty。取任意M \in R,由于g(x_1) = -\infty,则存在y_1 \in V,使得: f(x_1,y_1) \le M 根据性质(2.7),存在y_2 \in V使得f(x_2,y_2) < \infty,利用f的凸性,可得:...