Eckart-Young定理指出,在最小二乘法中,当数据点有噪声时,最小二乘解并不一定是最优的解。相反,最优的解是一个线性组合,其中线性组合的系数为数据的协方差矩阵的逆矩阵的每一列与数据的均值的差的点积。 总的来说,Eckart-Young定理是一个有用的工具,帮助我们在处理最小二乘问题时确定最优的解。©...
这就引出了我们今天的主题:低秩逼近与Eckart–Young–Mirsky定理。 低秩逼近 我们先来讲一下低秩逼近是一个什么样的问题: 问题就是我们希望用一个秩不超过r的矩阵\widehat{D}去逼近原始矩阵D,使得他们俩之间的F范数最小。 考虑到图像本来就具有低秩的性质,在上述操作中我们使用截尾SVD来重建被噪音破坏的图像,也...
Eckart-Young-Mirsky定理是一个与矩阵特征值和特征向量相关的重要定理。该定理主要探讨了一类归一化条件下的特征值问题。 给定一个n阶方阵A,其特征值和特征向量满足条件:特征向量归一化后,其特征值的绝对值最大。也就是说,对于所有的特征向量x和其对应的特征值λ,\|x\|=1,并且存在某一特征向量x和其对应的特征...
Eckart-Young定理是线性代数中的一个重要定理，它证明了最小二乘问题可以通过奇异值分解（SVD）来解决。具体来说，设矩阵X的秩为r，那么X可以表示成A=UΣV^T的形式，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。最小二乘问题的解就是使得||X-A*||_F^2最小的A。这个最小的A可以通过奇异值分解得...