C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!} ] 其中,(\binom{n}{k}) 是二项式系数,表示从 ( n ) 个不同的元素中选择 ( k ) 个的可能数。 卡特兰数的前几个数列为: ( C_0 = 1 ) ( C_1 = 1 ) ( C_2 = 2 ) ( C_3 = 5 ) ( C_4 = 14 ) ...
\sum_{x=1}^{n}\sum_{i=L-1}^{R-1}\binom{deg(x)}{i} \pmod{1e9+7} 比上一题简单吧,但是组合数怎么求?这不是板子嘛,没学过逆元那没办法。 时间复杂度 O(n\log_2n),使用线性递推求逆元可以做到 O(n)。因为 \sum_{x=1}^{n}{deg(x)}=2n-2,求和次数是 O(n) 的。 // 数星...
\[F(x) \pm G(x) = \sum\limits_{n} (a_n \pm b_n)\frac{x^n}{n!} \] EGF 相乘(卷积):设 \(\{a_n\}, \{b_n\}\) 的EGF 分别为 \(F(x), G(x)\),则 \(F(x)G(x)\) 为序列 \(\{\sum \binom{n}{i} a_ib_{n - i}\}\) 的EGF。 \[F(x)G(x) = \sum\l...
另外,卡特兰数(Catalan number)也与组合数有密切关系,其第n项通常记为Cₙ,表示满足特定约束条件的组合结构数量。卡特兰数的通项公式为: Cn=1n+1(2nn)Cₙ = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}Cn=n+11(n2n) 或者写作: Cn=(2n)!(n+1)!n!Cₙ = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}Cn=(n+1)!n!
此处称 n=\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{E} 为根系的秩。 关于根系的性质,有一些简单的结论: 两根之间的夹角排除平凡情形后仅可能是 \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6}\\ 两个相异单根之间的夹角不可能是锐角...
$ \LARGE\tbinom{n}{m} = \frac{n!}{(n-m)!m!}$ 第二类\(Stirling\)数 \(S(n,m)\),同时可记为\({n \brace m}\)。其表示将\(n\)个不同的元素分成\(m\)个非空集合的方案数。 递推式:\(\LARGE {n \brace m}=m{n-1 \brace m}+{n-1 \brace m-1}\) ...
D_n=\left\lfloor\frac{n!}{\mathrm{e}}\right\rfloor $$ 随着元素数量的增加,形成错位排列的概率 P 接近: $$ P=\lim_{n\to\infty}\frac{D_n}{n!}=\frac{1}{e} P=\lim_{n\to\infty}\frac{D_n}{n!}=\frac{1}{\mathrm{e}} ...
Using the following table, please compute ? x y x f(x,y) 2 3 y 1 0.1 0.5 2 0.3 0.1 a). -0.14 b). 0.14 c). 3.5 d). 1 Solve: \int_{ -\infty}^{\infty} \frac{x^2e^{-x^2/2{\sqrt{2\pi = 1 10. For the numbers 1, 2, 4, 16, compute the following: ?X (?X)...
优化不会。好像是可以推一通发现答案的生成函数一定满足 \(G_u(x) = \frac{F_u(x)}{(1-x)^{siz_u}}\),其中 \(F_u(x)\) 是一个 \(siz_u\) 次多项式,然后信息量只有 \(O(n)\) 了,推一下咋转移的好像就行了,好像还要研究怎么把多项式模 \(x^{m+1}\),太困难了我摆了。 PKUSC 2024...
{eq}\begin{align*} (1+x)^p&=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{p}{n}x^n\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{p(p-1)(p-2)\cdots (p-n+1)}{n!}x^n \end{align*} {/eq} This expansion works for ...