一、黎曼空间和度规张量 二、张量指标的升降 三、克里斯朵夫联络 四、黎曼空间中的测地线 五、黎曼空间的曲率张量 六、毕安基恒等式 七、李(Lie)微商 八、等度规映射和凯林矢量场 在仿射空间中引入度规场和不变距离,就构成了黎曼空间 一、黎曼空间和度规张量 我们用二次型 ds2=gμνdxμdxν来定义空间相...
黎曼几何是由19世纪德国数学家伯恩哈德·黎曼提出的，这一非欧几里得几何对传统欧几里得几何进行了重大突破。在黎曼几何中，空间不再是绝对平坦的，而是可以弯曲和扭曲的。此数学框架允许我们在更广泛的背景下理解几何性质，并为处理复杂的几何和拓扑问题提供了新工具。黎曼几何研究的是具有黎曼度量的光滑流形，特别关注于...
若我们把双曲面舒展成平面以后,再继续朝平面的另一个方向变,则变成了椭圆面或圆面,这个时候,如果我们在这个椭圆面上画三角形,将发现,无论怎么画,这个三角形的内角和都大于180度,两点间的最短距离依然是曲线,这个几何就是黎曼几何。这个几何在物理上非常有用,因为光在空间上就是沿着...
在数学和物理学中，黎曼几何是一种描述曲面和曲线的数学框架，它的特征就是空间中的点，线，面不再像欧几里得空间那样规则和均匀。在黎曼几何中，直线和曲线、平面和曲面的区别开始模糊，这就是我们所说的空间变得“扭曲”。黎曼几何的基础在于一种特别的概念，被称为“度量张量”。这个张量允许我们在任何点处计算出...
那么，黎曼几何是如何让我们看到宇宙的弯曲呢？黎曼几何的奠基者——格奥尔格·弗里德里希·伯纳德·黎曼 1、生平与成就 1826年，黎曼出生在德国一个贫穷的牧师家庭。尽管他的父亲希望他成为一名牧师，但黎曼天生的数学才能在很小的时候就显现出来。在家庭教师的引导下，黎曼的数学才华得以充分发展。1846年，他以优异的...
黎曼曲率张量包含了流形上所有方向的弯曲信息。特别地，当曲率为零时，空间是平坦的，即欧几里得空间；非零曲率则对应弯曲空间。测地线，测地线是流形上两点之间的最短路径，类似于平面上的直线。在广义相对论中，物体在引力场中的运动轨迹就是时空中的测地线。黎曼几何在物理学中最重要的应用是爱因斯坦的广义相对论。
回想起来，毫无疑问，这是数学史上最重要的公开演讲之一。黎曼彻底打破了统治数学两千年的欧几里得几何的限制，这一消息很快传遍了整个欧洲。他的讲话被翻译成几种语言，在数学界引起了不小的轰动。欧几里得几何与黎曼几何之比较 欧几里得几何适用于平面空间，如点、线、平面等；黎曼几何适用于曲面空间，如圆柱、球面、...
黎曼发现，欧几里得几何学归根到底是建立在常识和直观知识的基础上的，而不是建立在坚实的逻辑基础之上。所有物理定律的统一 高斯很早就有了“高维几何”的想法，他曾经向他的同事们说起假想完全生活在二维表面上的“书虫”，并想要把这推广到高维空间的几何学中去。然而，由于害怕受到保守派的迫害，高斯从来没有公开...
黎曼几何是由德国数学家G.F.B.黎曼于19世纪中期创立的非欧几何学分支,以曲面作为独立几何实体,采用正定二次型度量空间,其核心公理假设“过直线外一点不存在与之平行的直线”,导致三角形内角和大于180度。以下从基本概念、核心内容、与欧氏几何的区别、发展历程及应用领域展开说明。 1. 基本概念...
在物理学中，黎曼几何成为广义相对论的理论基石，爱因斯坦的引力场方程正是建立在黎曼流形的概念之上。此外，黎曼的ζ函数研究也促进了数论与复分析、代数几何等学科的交叉融合，推动了数学科学的整体进步。历史背景：清1644-1911。欧洲历史：古典时代，中世纪，近现代；中世纪，始于公元476年西罗马帝国的灭亡，终于公元...