鞅不等式的主要思想是通过引入一个超鞅序列来构造一个上界或下界,从而得到一个关于鞅序列的不等式。 具体证明步骤如下: 1. 定义一个超鞅序列 {Y_n},满足以下条件: - Y_0 = 0(常数) - 对于任意的 n,有 E(Y_n) < +∞ - 对于任意的 n,有 E(Y_{n+1} | X_1, X_2, ..., X_n) ≥ X...
鞅不等式的证明是基于条件期望的性质和性质的推导。首先,我们需要了解条件期望的定义和性质。条件期望是对随机变量的期望进行的条件化,即在给定某些条件的情况下进行的期望计算。条件期望的性质包括线性性、无偏性、塔区性、蒙特卡洛性质等,这些性质是证明鞅不等式的基础。
\QED2 鞅不等式 下面把鞅的定义中的随机变量变成停时(把确定时间变成随机时间),得到Doob停止定理: 定理2.1 [Doob停止定理]设(X_n,\mathscr{F}_n) 是鞅(resp. 上鞅), S,T 是有界停时, 且 S\leq T, 则\mathbb{E}(X_T|\mathscr{F}_S)=X_S (resp. \leq X_S ), a.s.. ...
鞅的最大值不等式估计 鞅的收敛性 填坑:重期望的条件概率是否可以交换顺序? 在这里,先感谢这一门课的授课老师方明老师对这一部分提供的帮助! 在上一节,我们的证明中用到了这么一个步骤。 E(Mk+2|X0,…,Xk)=E[E(Mk+2|X0,…,Xk)|X0,…,Xk+1] =E[E(Mk+2|X0,…,Xk+1)|X0,…,Xk]=E(Mk...
再由Doob有界停止定理可得此停止过程也为下鞅，之后对积分进行适当放缩即可，具体步骤可见任意一本有讲鞅...
这些收敛定理怎么证明呢? 首先我们看看Upcrossing定理是什么。 X_n是鞅。任取两个实数a<b,在时间n内,upcrossing的次数记为U_n[a,b],那么 (b-a)E(U_n[a,b])<=|a|+E(|X_n|) 如果X_n在L1中一致有界,那么在(a,b)区间内跳出无数次的概率为0. 对于不收敛的情况,即上下极限不相等的情况,把上下...
继续深入学习随机过程，我们探讨了鞅的不等式估计与收敛性，以及可选停时定理的应用。首先，解决上一节留下的问题，关于条件期望的交换顺序，我们通过反例展示了不满足包含关系时，期望值的差异。在条件期望的讨论中，我们引入了[公式]代数的概念，这是一种特定的划分方法，有助于理解条件期望的计算过程。