随机计算(stochastic calculus)是应用于随机过程(stochastic process)的运算,它对随机过程关于随机过程的积分作出定义,由日本数学家伊藤(Ito)创立。在本文中,我们将要对用布朗运动(Brownian motion)定义的随机积分进行一个简单的介绍,所用到的方式没有很强的技术性和理论性,目的是为了让尽可能多的人理解随机积分的概念...
随机计算(stochastic calculus)是应用于随机过程(stochastic process)的运算,它对随机过程关于随机过程的随机积分(stochastic integral)作出定义,由日本数学家伊藤(Ito)创立。在本文中,我们通过几个步骤对平方可积(square-integrable)过程和局部鞅(local martingale)关于布朗运动(Brownian motion)的积分作出定义。我们用 (Ω...
随机积分是随机计算中的核心概念之一，它针对随机过程进行运算，特别是处理用布朗运动定义的函数的积分问题。以下是关于随机积分的几个关键点：定义：随机积分涉及到概率空间中的适应性随机变量，是处理随机过程相关函数积分的一种数学工具。与布朗运动的关系：布朗运动是连续时间随机过程，可以看作是离散随机行...
随机积分是一种在随机过程理论中扩展了对随机过程积分的定义的重要概念。以下是关于随机积分的几个关键点：定义与背景：随机积分由日本数学家伊藤创立，主要用于处理随机过程的积分问题，特别是在布朗运动等连续时间随机过程中。应用场景：以布朗运动为例，它描述了粒子在流体中的随机波动，其数学表示是维纳过...
本文将对随机积分的定义和一些基本性质进行介绍。 一、随机过程和随机过程积分 随机过程是一组时间强相关的随机变量,表示了一个随机现象在时间上的演化规律,例如布朗运动、泊松过程等等。而随机过程积分就是以时间作为自变量、以随机变量作为因变量的函数。 伊藤积分是随机积分的一种形式,它的被积函数是随机过程本身,...
3. Malliavin积分:Malliavin积分是一种用于计算高阶导数的随机积分方法,它在数学分析和金融工程中有广泛的应用。 随机积分的性质 随机积分具有以下几个重要的性质: 1. 线性性:随机积分具有线性性质,即对于两个随机过程的线性组合,其随机积分等于对每个随机过程分别进行随机积分后再求和。 2. 马尔可夫性:随机积分保持...
随机积分的定义 伊藤公式 协变差与乘积法则 初等函数的伊藤公式 随机积分的定义 随机积分,类似于普通的黎曼积分,只不过是在积分中添加了一点随机性(randomness)。我们希望使得如下的等式有意义: (1)dXt=m(t,Xt)dt+σ(t,Xt)dBt 其中Bt 是标准布朗运动,这是一个随机微分方程(SDE)的例子。我们这样来理解随机过程...
随机积分是随机微积分中的一个核心概念，它关注于如何在随机过程中进行数学运算。日本数学家伊藤在这一领域做出了重要贡献，创立了关于随机过程的随机积分理论。平方可积过程与随机积分：平方可积过程是指那些其平方在给定时间区间内积分有限的随机过程。对于这类过程，随机积分具有伊藤等距性质，即积分的平方...
随机积分具有伊藤等距性质，即对于常值过程 [formula] 和 [formula]，有 [formula]。对于简单过程，如分段常值过程 [formula]，其积分同样满足伊藤等距原则。进一步扩展到更一般的过程，我们需要使用简单过程的近似和杜布不等式。平方可积过程 [formula] 可以通过简单过程 [formula] 进行逼近，引理2.1...
布朗运动的随机性主要表现在其运动的方向和速度都是随机的,无法精确预测下一时刻的运动状态。 布朗运动的随机性可以通过概率论和统计学的方法进行描述和分析。其中一个重要的概念就是布朗运动的随机积分。随机积分是指将一个随机过程沿着时间轴进行积分运算,从而得到一个新的随机过程。布朗运动的随机积分可以用于描述...