哥德尔与科恩合力证明了：连续统假设在ZFC体系中是独立的。既不能被证明为真，也不能被证明为假。它表明ZFC不具决定性，存在命题，其真假在ZFC内不可知。类似于哥德尔1931年第一不完备性定理的外延：任何足够强的一致形式系统，都存在无法在该系统内判定的陈述。连续统假设成为首个明确被证明为“不可判定”的自然...
1870年代,康托在研究无穷集合的势(即集合的大小)时,首次发现不同的无穷可以具有不同的基数。自然数集的势被记作 ℵ_0,而实数集的势,称为“连续统”,记作 c。康托提出一个问题:是否存在一个集合,其基数严格大于 ℵ_0 而小于 c?...
两个方向都成立,形成一组独立性定理: 哥德尔与科恩合力证明了:连续统假设在ZFC体系中是独立的。既不能被证明为真,也不能被证明为假。 它表明ZFC不具决定性,存在命题,其真假在ZFC内不可知。类似于哥德尔1931年第一不完备性定理的外延:任何足够强的一致形式系统,都存在无法在该系统内判定的陈述。 连续统假设成为...
现在，连续统假设把这个道理“推到了极致”，它告诉我们，某些东西不能被“理解”，只能被接受。它就像是一个数学的黑洞，你知道它在那儿，却无法真正窥见它的内部结构。当你思考这条假设的含义时，你会觉得它让你看到的不再是一个整齐、平衡的数学世界，而是一个充满裂缝的、模糊的世界——一个连最基础的常识都...
连续统假设是集合论中关于无穷集合基数关系的未解问题,断言不存在大小严格介于自然数集与实数集之间的无穷集合。该假设在标准数学公理体系(ZFC)下不可被证明或证伪,其独立性由科恩等人确立,且不同数学学派对其真实性存在争议。 一、核心定义与背景 连续统假设由康托尔于19世纪末提出,聚焦于无穷...
命题25(广义连续统假设和阿列夫假设的等价性) 注意26( 的场合) 本文不假设选择公理。 一.序数、势和基数 先来回顾定义。这部分内容较为基础,所以本节性质将不再证明而是直接给出。 定义1(序数、后继序数、极限序数) 设x 为任意集合,称 x+=x∪{x} 为x 的后继。记 ∅=0 ,定义: 0 是序数; 若α ...
各位看客，今天咱们聊点硬核的——连续统假设。这玩意儿听起来像天书，但它的影响力可不止在数学界炸锅，还直接动摇了人类对“真理”的认知。别急，咱用大白话把它掰开了说。一、从“无穷”说起：康托的疯狂发现 话说19世纪，数学家们还在为“无穷”头疼。大家都觉得无穷就是“没完没了”，但康托（Georg ...
———康托尔假设比自然数集大的第一个无限集是自然数集的幂集，这个幂集是实数集，这个命题就是连系统假设 ℵ1=2^ℵ0 在所有的集合论数学中，它既不是正确的也不是错误的。你可以选择它是正确的，且所有ZFC数学是对的，因为你不能够证明矛盾。但是你也可以认为它是错误的，依旧不能从ZFC中找出矛盾 ...
具体来说，可数集合指的是可以一一对应于自然数集合的集合，例如正整数集合、有理数集合等。而实数集合则是一个无限的、不可数的集合，其中包含了所有的实数。连续统假设表明，不存在大小介于这两个集合之间的集合。换句话说，实数集合的大小是最小的不可数集合，任何介于可数集合和实数集合之间的集合都不存在。让...
连续统假设(Continuum Hypothesis,简称CH)是数学中关于无穷集合基数的一个基本假设。以下是对该名词的详细解释: 一、定义与表述 连续统假设由德国数学家乔治·康托尔(也有说法为格奥尔格·康托)提出,其核心内容是:在可列集(即自然数集,其基数记作阿列夫0,ℵ0)基数和实数集基数之间,不存在其他的基数。也就是说,...