一、基础理论 齐次方程组形如: 。在一些优化,拟合等问题中经常出现,我们常考虑方程多于未知数元数的情况---超定方程组。 首先对于平凡解x=0我们一般不感兴趣,一般我们会寻求方程组的非零解。 如果x是方程组的一个解,那么对于 ,也是齐次方程组的解,一个合理的假设是只求满足 的解。 假设A的维数是m×n,一般...
由于方程个数不足以限制未知数的个数,所以超定齐次方程组一般有无穷多组解。 解超定齐次方程组的方法一般为使用行阶梯形矩阵进行求解。具体步骤如下: 1.将超定齐次方程组写成增广矩阵的形式。 2.对增广矩阵进行初等行变换,将其化为行阶梯形矩阵。 3.根据行阶梯形矩阵的形式,得出各个未知数之间的关系。 4....
超定方程组是无解的,但是我们可以求得其最小二乘解,就是将等式左右两端乘上AA的转置。 ATAx=ATbATAx=ATb 该方程有增广矩阵[ATA|ATb][ATA|ATb]的秩等于nn,即该方程的未知数的个数等于有效方程的个数,所以该方程有唯一解且为原方程的最小二乘解。 平时记住结论直接用就好 三、推导过程 (记录,其实小生也是...
超定方程组，往往在求解时会发现不存在完全解的情况。以三点不在同一直线为例，尝试找出一条直线同时通过这三点是无法实现的。这是因为条件过于严格，导致了解不存在。在实验数据处理和曲线拟合问题中，处理超定方程组变得尤为重要。解决超定方程组的常用方法是采用最小二乘法。形象地说，当无法满足所有...
一、 超定方程组的最小二乘解 当方程组GX=b的方程数多于未知数个数时，对应的系数矩阵G的行数大于列数，此时方程组被称为是超定方程组。设G=(giu)m×n，当m>n时即所谓的高矩阵，绝大多数情况下，超定方程组没有古典意义下的解。超定方程组的最小二乘解是一种广义解，是指使残差r = b – GX ...
1. 对于线性方程组: 2. 对于超定线性方程组: (1)A的行列式为零 (2)A的行列式接近于零 3. 岭回归与Lasso回归 4. 其他 1. 对于线性方程组: Ax=b 求逆可得到: x=A−1b 2. 对于超定线性方程组: (1)A的行列式为零 即:存在奇异问题或存在为零的特征值,所以无法直接求得A矩阵的逆。因此,为了...
一般说来，超定方程组无解（此时为矛盾方程 组），这时需要寻找方程组的一个“最近似”的解.定义 记误差向量r=b-Ax,称使 r 2 最小的解x* 2 为方程组Ax=b的最小二乘解.定理x*是Ax=b的最小二乘解的充要条件为x*是ATAx=ATb的解.数学学院信息与计算科学系 定理x*是Ax=b的最小二乘解的充要条件为...
线性方程组Ax=b当系数矩阵A超定时,最小二乘解为x=(ATA)−1ATb 证明过程: 最小二乘的目标函数为 F(x)=(Ax−b)T(Ax−b) 展开得到 F(x)=xTATAx−xTATb−bTAx+bTb 根据向量求导的法则,可以对向量x求导,得到 F′(x)=2ATAx−2ATb ...
超定方程一般是不存在解的矛盾方程。例如，如果给定的三点不在一条直线上， 我们将无法得到这样一条直线，使得这条直线同时经过给定这三个点。 也就是说给定的条件（限制）过于严格， 导致解不存在。在实验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。形象的说，...
一、首先,请注意,本文说的是线性超定方程组,方程组是线性的,不含有未知数的出发以及乘方。 求线性超定方程组,有这么几种方法: 1. 直接法 2. QR分解 3. SVD分解 4. 迭代法 本文首先选用直接法求解线性方程组,计算效率快,运行方便,代码短。 二、以2个未知数,四个方程为例。也可以是n个未知数,大于n个方...