一道积分 一点原理 一些小应用 幂对乘积及衍生 伽马函数的整数值 真正的应用 例一 例二 一点背景 理查德·费曼,著名物理学家,诺贝尔奖获得者。他的名字被用来命名了很多东西,其中就包括费曼积分法。然而,虽然该方法以他命名,但其并非是费曼首创。事实上,费曼是高中时在书上看到的该方法。后来在他的推广下,该技巧为更多
费曼积分法,实际上也是费曼本人喜欢进行的一种积分技巧,就是“先积分内求导,再求积分”,看起来是奇技淫巧,但是确实能求得正确的结果。而实际上,这种方法实际上是莱布尼兹积分定律的使用。 莱布尼兹积分定律 我们观察下面的一个含参积分: ∫0πsin(x)+tdx 将t 视作常数,不难求得其结果为: =−cos(x)+xt|...
一种十分强大的积分技术：费曼积分法 今天的文章将讨论一种晦涩但强大的积分技术，它通常被称为积分符号下的微分，但偶尔也被称为“费曼技术”，因为他在书中推广了这一技术，也被称为莱布尼茨积分规则。在我们开始之前，有一点需要澄清：虽然莱布尼茨规则有时被称为“费曼技术”或类似的名称，但它不应与费曼的量子...
费曼引用的那本书是由麻省理工学院的数学家弗雷德里克·伍兹在1926年出版的《高等微积分》，这个积分来自于那本书。你可以试试你在微积分中学到的常用技巧。三角替换，变量替换，分部积分，用级数替换被积函数，这些都不行。你也可以试着让Wolfram Alpha计算它，它会超时。我们需要创造力！您首先应该观察到α是关于积...
通过积分还原得I(α)= -arctanα +C，代入边界条件α→∞时I(α)→0，确定积分常数为π/2。最终求得I(0)=π/2，验证了该方法的有效性。在处理高斯积分∫₀^∞e^(-x²)dx时，费曼法同样展现优势。构造I=∫₀^∞e^(-x²)dx，将其平方转化为二重积分I²=∫₀^∞∫₀^∞e^(-x²-...
费曼积分法 Leibniz Integral Rule假设二元函数f(x,y)f(x,y)连续,可以证明I(y)=∫baf(x,y) dxI(y)=∫abf(x,y) dx连续。连续意味着:limy→y0I(y)=I(y0)limy→y0I(y)=I(y0),所以limy→y0I(y)=∫baf(x,y0) dx=∫ba[limy→y0f(x,y)] dxlimy→y0I(y)=∫abf(x,y0) dx=∫ab[limy...
费曼积分法,是用二元函数的偏导数来求解一元函数的定积分。举例,求定积分A=∫sinx/x*dx,积分区间是(-∞,+∞)。 我们先简单定性分析。被积函数y=sinx/x在0及+∞处是存在极限的。就是说,这个定积分是收敛的,是有解的。当x→0时,用罗必塔法则求极限,分子...
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也就是原函数sin x的不定积分是负的 cos x加C其中C是常数项 现在我们代入积分的上下界再相减 cos派就是一 cos0就是一 所以最后的结果就等于二 确实不难 现在我们增加点难度 如果我们在正弦函数上再加一个参数T呢 其实也很简单 因为是针对X积分