由调和函数的“球体平均值性质”,有 u(x) =\frac{1}{| B_R(x) |}\int_{B_R(x)}u(y) \ dy= \frac{1}{2R}\int^{x+R}_{x-R}u(y) \ dy. 等式的右边可以看成是 u(y) 的变上、下限积分函数,函数的自变量为 x。 假设u(y) 是连续函数,那么根据变上限积分求导,有: \frac{d}{d
（1）R所有的常数函数、线性函数和仿射函数（比如说两块均匀带电无限大平板之间的电势）。（2）定义在R\{0}上的函数f(x1,...,xn)=(x1+...+xn)，其中n≥2。在三元的调和函数的例子前，先定义以简化形式。下面表格中的函数在经过数乘（乘以一个常数）、旋转和相加后仍然会是调和函数。调和函数是由其奇点...
调和函数定义是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件,例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个(从而区域是n维的)时,则称它为n维调和函数。 在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核,因此是一个R的向量空间:调和函数的和与差以及数乘,结果依然是调和...
这类函数在物理场论中随处可见,例如无源区域的温度场分布、引力场势能分布。十九世纪法国数学家拉普拉斯在研究天体力学时,发现这类具有特殊对称性的函数,其核心特征在于任意点的函数值等于周围邻域的平均值,如同平静湖面的涟漪最终会归于平衡状态。 以二维平面为例,若某区域温度分布满足调和函数特性,则区域内不存在热源...
Harnack第二定理,也被称为Harnack原理,描述了单调调和函数列的收敛性质: 设\{ u_k \} 是有界区域 \Omega 上单调不减调和函数列,若它在 \Omega 内某一点 P 收敛,则它在 \Omega 内处处收敛,且极限函数是调和函数,且收敛在任意闭子区域内是一致的。 用更简练的语言,单调调和函数列在区域内要么处处不收敛,...
调和函数是在平面区域D上定义的函数u＝u，若有二阶连续偏导数，且满足二阶拉普拉斯方程，则称u＝u为D上的调和函数。以下是关于调和函数的详细解释：定义与条件：调和函数是在某一平面区域D上定义的函数u。该函数需要具有二阶连续偏导数。它必须满足二阶拉普拉斯方程，这是判断一个函数是否为调和函数的...
拉普拉斯算⼦的作⽤就是对不同的⾃变量求⼆阶偏导数，然后相加得到⼀个关于偏导数的函数，⽽调和函数就是那些经过拉普拉斯算⼦作⽤后等于零的函数，也就是满⾜下列条件的函数：值得注意的是，定义调和函数前，我们要求这个函数起码是在R^n中某区域(也可以是实数空间R^n本⾝)上存在⼆阶偏导数的...
调和函数是指在平面区域D上定义的函数u＝u(x，y)，若有二阶连续偏导数，且满足二阶拉普拉斯方程则称u＝u（x，y）为D上的调和函数。调和函数与解析函数有密切关系，解析函数的实部与虚部都是调和函数。特别称虚部是实部的共轭调和函数。在单连通区域上的调和函数一定可以是一个单值解析函数的实部，...
1.调和函数的概念2.解析函数与调和函数的关系3.计算实例 1.调和函数的概念 定义如果二元实变函数(x,y)在区域D内具 有二阶连续偏导数，并且满足Laplace方程22220xy则称(x,y)为区域D内的调和函数.工程中的许多问题，如平面上的稳定温度场、静电场和稳定流场等都满足...
u 为Ω⊆R2 上的函数,其复变元表示为 ∀z=x+yi∈C,u(z)=u(x,y)。 引理1. u1,u2 为Ω 上的调和函数, γ⊆Ω 为一同调于0的闭曲线。 ∀u, ∗du=−∂u∂ydx+∂u∂xdy ,则有 ∫γu1 ∗du2−u2 ∗du1=0 ...