良序定理(Well-ordering Theorem)声称所有集合都可以被良序排序。在ZF公理集合论系统中,它与选择公理和佐恩引理是等价的。... 关注话题 管理 分享 百科 讨论 精华 等待回答 切换为时间排序 良序定理(Well-ordering Theorem)声称所有集合都可以被良序排序。在ZF公理集合论系统中,它与选择公理和佐恩引...
选择公理还有许多等价命题,比如下面的Zorn引理和良序定理 二、Zorn引理 1.偏序集,全序集,Zorn引理 定义1:若集合 A 上的二元关系 \prec 满足:(1)非自反性: \forall a\in A,a \prec a 不成立 (2)传递性: a\prec b,b\prec c\Rightarrow a\prec c ,则称 \prec 为A 上的偏序(关系),称 A 或(A...
良序定理(Well-ordering theorem) 定义:每个非空集合中发非负整数都一定有一个最小的数 良序关系的利用: 例一: 例二证明:任何大于1的整数均可被表示成一串唯一素数之乘积 For Q1:Proof:假设不是素数乘积的正整数构成了一个 set(集合),那么在 set 中必存在最小值 m(利用上面的良序定理)而且 m 必不是素数,...
定理的核心内容 良序集可比较定理断言:给定任意两个良序集,要么它们之间存在序同构,要么其中一个良序集与另一个良序集的某个真前段同构。换句话说,良序集之间总能通过某种方式比较“长度”或“结构”。 证明思路拆解 证明这一定理的核心方法称为“超限递归”。具体来说,从两个良序集的最小元素开始,尝试逐步构造序...
良序化定理、弗雷格原理、蒙塔古语法 良序化定理（ well-ordering theorem）亦称“整序”。一种非常重要的序关系。设（x≤）是全序集，如果x的任一非空子集u总有最小元素，则x称为一个良序集，≤称为良序关系。由于良序集x的任一非空子集u必有最小元素，因此u必有极小元素，所以良序集既是全序集又是基序集...
良序定理中的全序关系是指集合中的每一个元素都可以与其他元素建立起明确的大小关系。具体来说，全序关系要求集合中的任意两个元素之间要么相等，要么存在一个元素被另一个元素严格地“小于”或“大于”。例子： 实数集：实数集是一个全序关系的经典示例。在标准的数轴上，任何两个实数都能通过简单的比较...
良序定理的重要性不容忽视，它为数学研究提供了一种强大的工具，即超限归纳法。它被视为康托尔眼中的“思维基本原理”，尽管如此，理解像实数集合R这样的良序集合对许多数学家来说是一项挑战。1904年，Julius König声称自己证明了良序不可能存在，然而，这个结论很快被费利克斯·豪斯多夫发现的错误所...
良序定理是指每个非空自然数集合都有一个最小元素。以下是良序定理的证明：首先，假设存在一个不满足良序定理的集合。那么，这个集合必须是非空的，并且没有最小元素。接下来，我们定义一个由这个集合中的无限个元素组成的序列。具体来说，我们首先选择该集合中的任意一个元素作为第一个元素，然后从该集合中删除这个...
使用超限归纳法要求集合是良序的,但事实上我们可以证明一切集合都可以良序化(即良序定理),因而超限归纳法具有广泛的适用性.但在证明良序定理之前,我们必须先引入一个重要的公理:选择公理. 选择公理 选择公理即ZFC公理中的C (Axiom ofChoice),由被单独列出就可看出其地位的特殊.它的通俗诠释是,如果我们有若干非空...
刚才定义所谓的良序,只是我们认为规定的。但是对于任意一个集合来说,其是否存在这样的良序呢?选择公理是泛函分析的基石之一,我们承认选择公理。上面的一切都在引出这个选择公理的正确性和必要性。 不过在下一节中,我们要用的不是所谓的良序定理,而是Zorn引理,这个Zorn引理也与选择公理等价。这三个等价的定理之间的相互...