因此,Aut(G)中共有24个元素,其中有8个阶为8,16个阶为4。 思路如下:确定循环群的生成元素:题目中给出了循环群G是一个8阶群,因此需要确定一个生成元素a。在循环群中,生成元素a的阶为群的阶。寻找自同构映射:根据定义,自同构映射是保持群结构的同构映射。对于循环群G,我们需要找到保持生成元素a的性质的同构...
我们似乎甚至有对于任何可解群G，|Aut(G)|=ϕ(|G|)<|G|，其中ϕ(⋅)是欧拉函数。反而符合...
【题目】求整数加群Z的自同构群Aut(Z). 答案 【解析】 解设$$ \phi \in A u t ( Z $$,令$$ \phi ( 1 ) = k $$因为φ是满映射,所以存在$$ l \in Z $$,使 $$ \phi ( l ) = 1 $$.由于$$ 1 \neq 0 $$,所以$$ k , l \neq 0 $$ 另一方面,如果$$ l > 0 $$,则 $...
【答案】：任取τ∈Aut G但τ不是恒等自同构则有a∈G使 τ(a)=b≠a如果τ属于Aut G的中心则τ必与群G的每个自同构可换．从而与G的内自同构σa可换： τσa=σaτ于是对任意x∈G令x=τ(y)则有 τσa(y)=σaτ(y)或τ(aya-1)=σii(x)τ(a)τ(y)τ(a)-1=axa-1 bxb-1...
总的来说，群H及其自同构群Aut(H)在满足半直积条件时是可以进行半直积的，但要确定是否满足条件，需要...
【题目】求有理数加群Q的自同构群Aut(Q). 答案 【解析】解对任意r∈Q,定义σ_T:(Q,+)→(Q,+) (1)显然, σ_T 为Q的一个变换(2)设x, y∈Q 如果 σ_T(x)=σ_T(y) ,即rx=ry.由于 r≠q0 x=y,所以σ,为单映射3)对任意的x∈Q,有 y=x/r∈Q ,使σ_T(y)=r⋅x/r=x 所以σ...
单位圆盘的全纯自同构群Aut B(0,1) 利用Schwarz引理可以求出单位圆盘B(0,1)B(0,1)的全纯自同构群AutB(0,1)AutB(0,1). 任取a∈B(0,1)a∈B(0,1),记φa(z)=a−z1−¯¯¯azφa(z)=a−z1−a¯z 显然这个分式线性变换φa∈AutB(0,1)φa∈AutB(0,1)且φ−1a=φa...
从而, $$ A _ { 4 } $$的任一自同构φ可由它在(123)与 (134)的像唯一确定,由于群的同构映射保持群元素的阶与共轭关系不变,因此 $$ \phi ( 1 2 3 ) , \phi ( 1 3 4 ) \in \left\{ ( 1 2 3 ) , ( 1 3 4 ) , ( 1 4 2 ) , ( 2 4 3 ) \right\} $$ 或 $...
本文给出了满足自同构群方程IAut(G)l-6r2的有限群G的完全分 类,其中,是大于3的素数.即文中的定理:设G为有限群,,是大于 3的素数,那么lAut(G)睁6r2当且仅当G同构于下列群之一:C。 C:×C7,,C6^.,C2 x c‘^,,其中6r2+l为素数. 关键词:有限群;自同构群;群的构造、 ...
习题求助,证明自同构..楼主是这样想的:设f:Z/nZ --> Z/nZ是同构,那么f保持阶数。对于任意的循环群Z/nZ的生成元g,譬如1,1的阶数为n, |f(1)| = n, 那么f(1)也是生成元,也就是说同构f