Definition4.2(自伴随) 对X上稠密定义的线性算子A,我们称其为自伴随(self-adjoint),如果A=A′(这要求D(A)=D(A′)且A是闭算子);我们称之为反伴随的(skew-adjoint),如果A=−A′;我们称之为正规的(normal),如果AA′=A′A。我们称T∈B(X,Y)是酉(unitary)的,如果T−1=T′。
自伴算子是线性代数和泛函分析中的一个重要概念。它起源于对称矩阵和复共轭线性变换的推广,在物理学中,特别是量子力学中,自伴算子用于描述物理量,如能量、动量、角动量等。在工程学、信号处理、数据科学等领域,自伴算子也有着广泛的应用。 在数学里,作用于一个有限维的内积空间,一个自伴算子(self-adjoint operato...
自伴随算子:如果一个线性算子A是自伴随的,即A=A*,那么我们可以直接求解A的伴随算子,方法如下:a) 将A表示为一个微分算子或者积分算子的形式;b) 反转微分或者积分算子中的所有系数;c) 将反转后的系数代入原来的微分或者积分算子中得到伴随算子。A=D/dx是一个微分算子,那么它的伴随算子可以通过以下步骤计算:...
自伴算子不一定是闭算子，但自伴算子在希尔伯特空间中是闭算子的延拓。自伴算子定义为满足的算子，其中...
一 自伴算子、酉算子和正常算子的定义 定义1 设 T为Hilbert空间 X 到 X 中的 有界线性算子,若 T T*,则称 T 为 X上的 自伴算子;若 TT * T *T,则称 T 为 X 上的 正常算子;若T 是 X到 X的一对一映射,且 T* T ,1 则称 T 为 X 上的酉算子. 2 当T 是自伴算子时,由 T * 的定义,...
对任意成立的那个算子. 我们换个视角来看上述定义, 对任意,就定义了一个线性泛函, 因此根据 Riesz 表示定理, 存在唯一的使得对任意成立, 很明显, 这里的由确定, 于是我们可以设. 这同样引入了这个算子. 定义6.3.1(Hermite 伴随):设为 Hilbert 空间...
在这一节, 我们来完成这一章的核心任务, 基于自伴算子的谱对其进行分解——也就是谱分解. 换言之, 任意一个自伴算子均可以写成一些和谱值相关的投影算子的“线性组合”, 且“线性组合”的系数就是对应的谱值. 这里打引号...
则称T为自伴算子。这里的(x, y)表示向量x和y在Hilbert空间中的内积。 注意:在实Hilbert空间中,自伴算子通常被称为自共轭算子。 2. 性质: 自伴算子的谱(即所有特征值的集合)是实数集的一个子集。 自伴算子具有完备的特征向量系,即存在一个由特征向量构成的正交归一化序列,该序列在H中是稠密的。 根据谱定...
反之,若(2)式成立,则 为 上的酉算子. 又由(2)式知,酉算子必为正常算子,但 所以 为酉算子的充要条件是(2)式成立. 正常算子不一定是酉算子. 例如,则 ,所以 ,即 是正常算子,但显然 不是自伴算子和酉算子. 编辑ppt 4 二 自伴算子、酉算子和正常算子的性质 ...