如果环中的乘法还满足交换律,则该环称为交换环。 域的定义 域是一个集合F,以及在该集合上定义的两个二元运算:加法“+”和乘法“·”,满足以下条件: 是一个阿贝尔群(在加法下)。 是一个阿贝尔群(在乘法下,但0没有乘法逆元)。 乘法对加法满足分配律。 主要区别 运算数量:群主要关注的是一个运算,而环和域...
群、环、域是数学中的重要概念,它们在代数学、几何学等领域有着广泛的应用。群是由一个集合和一个二元运算构成的代数结构,满足封闭性、结合律、单位元和逆元的存在。环是由一个集合和两个二元运算构成的代数结构,满足封闭性、结合律、单位元、逆元的存在以及分配律。域是由一个集合和两个二元运算构成的代数结构...
群、环、域是数学中非常基础的代数结构,它们的定义有着非常明确的数学表述,但是它们的应用却涉及到许多不同的领域。具体来说,在理论建模、密码学、物理学等领域的应用非常重要,同样,在计算机科学、数据结构等领域也有广泛的应用。因此,了解群、环、域的定义及其应用,可以帮助我们更好地理解现代数学和科学研究的应用...
本篇笔记来学习张贤科《高等代数学(第2版)》。本篇笔记学习了1.1节群、环、域的定义。具体内容如下: 本篇笔记备份在 GitHub
群、环、域是抽象代数中的基本概念，它们都是建立在非空集合上的代数结构，但具有不同的定义和性质。群是一个具有二元运算的集合，满足结合律、存在单位元和逆元。这个二元运算通常称为乘法，但也可以是加法或其他符号表示的运算。群是最基本的代数结构之一。环则包含两个二元运算：加法和乘法。加法运算...
②(R, ·)是幺半群 结合律：(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)单位元：乘法的单位元为1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a ③乘法对加法满足分配律Multiplication distributes over addition 3、域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，...
群、环、域是抽象代数中的基本概念，它们都是基于集合并定义了特定运算的代数结构。以下是它们的定义和主要区别。1. 群：- 定义：群是一个集合G，以及在该集合上定义的二元运算，满足封闭性、结合律、有单位元和逆元。具体来说，对于任意a, b, c ∈ G，有*c = a*，存在e ∈ G使得...
域在环的基础上要求乘法（除去乘法单位元外的元素）也构成一个交换群，即乘法需要满足交换律、单位元和逆元的性质。简言之，域是满足更严格性质的环。因此，域是对环概念的扩展和加强。4.2 域的基本定义 域是一种更复杂的代数结构，包含加法和乘法两种运算。域需要满足加法和乘法构成交换群（除了加法单位元外的...
定义:一个环R叫做一个除环,假如 R至少包含一个不等于零的元; R有一个单位元 R的每一个不等于零的元有一个逆元 定义:一个交换除环叫做一个域 我们先看一看除环以及域的几个最重要的性质 一个除环没有零因子 一个除环R的不等于零的元对于乘法来说作成一个群R^*。这样一个除环是由两个群,加群与乘群...
在抽象代数中,群、环和域是最基础的三个代数结构,它们分别对应着集合上的运算的性质。 首先,我们来看群的定义。群是一个非常抽象的数学对象,它由一个集合G和一个二元运算组成。对于集合G中的任意两个元素a和b,它们的组合结果a也属于集合G,并且满足以下四个条件: 1.封闭性:对于任意的a和b,它们的组合结果*a...