1. 对于Special Case:当对称矩阵S有n个不同的特征值 老爷子的书也做了相关证明,但我感觉写得有点凌乱,我这里重新梳理一遍,主要利用上面整理的那3个定理 根据Theorem 3:对称矩阵两个不同特征值对应的特征向量相互正交 Theorem 2:矩阵的n个特征值互不相同时,对应的n个特征向量线性无关 Theorem 1:n个特征向量线...
定理1 假设V 是有限维的,\mathcal{T}: V \rightarrow V 是一个正规线性变换。那么 \operatorname{Im}(\mathcal{T})=\operatorname{Im}\left(\mathcal{T}^*\right)。 证明 我们有 \operatorname{Im}(\mathcal{T})=\operatorname{Ker}(\mathcal{T})^{\perp}=\operatorname{Ker}\left(\mathcal...
在探讨线性代数的领域里，对称矩阵无疑占据了核心地位，其在理论与应用中的重要性不言而喻。Gilbert Strang对此的评价绝非过誉。实对称矩阵S的Spectral Theorem揭示了其独特的分解特性。任意阶实对称矩阵S均可表示为一个简洁的对角形式S=QΛQT。其中，Q是构成由S下的n个orthonormal vectors（标准正交基）...
定理2（Schur定理）阐述了有限维内积空间中任意线性变换存在正交基，使得线性变换矩阵为上三角矩阵的条件。定理3则进一步指出，若线性变换矩阵为上三角矩阵，则该线性变换为正规的当且仅当其为对角矩阵。本文通过对伴随算子、正规算子和谱定理的深入探讨，为读者提供了线性代数领域中重要概念的全面理解，强调...
在谱定理的探讨中，我们分为了实数域和复数域两部分。谱定理表明，当算子是正规的（复数域）或自伴的（实数域）时，存在一个由该算子特征向量构成的规范正交基。这一发现是线性代数中非常重要的结果，它为理解线性变换提供了强有力的工具。通过谱定理，我们将线性变换分解为在每个特征空间上的小模块，...
谱定理 712017-12 3 线性代数应该这样学 2732017-09 4 克拉默法则 1262017-08 5 线性映射 1102017-08 6 线性方程二 1112017-08 7 线性方程组 2112017-08 8 胡说八道! 1512017-08 9 胡思乱想记录 1842017-08 10 我的思考的记录 6342017-08 查看更多 猜你喜欢 3.9万 墨菲定理 by:爱上读书的一只喵 29.1万...
定理证明过程中有以下两个中间步骤的证明最为重要: A real symmetric matrix has only real eigenvalues. There are n linearly independent eigenvectors in the symmetric matrix. 对于1,由于当特征值是实数,对应的特征向量才是实数向量。对于2,当存在 n 个线性无关的特征向量时,矩阵就能被对角化,即存在这样的分解...
这篇文章记录了在学习中对线性代数一些基本概念或定理的理解,同时发掘一下其中的想法以及与其他知识之间的联系。 1 概述 1.1 讨论的背景 在上一节我们讨论了引入内积空间的想法和意义,那么有了内积空间后,就可以讨论内积空间上的一些算子了。 但是如果直接从这些概念的定义入手,确实一开始会觉得非常迷茫,不知道到底在...
tsctsc:《线性代数应该这样学》第7章读书笔记(上):谱定理——刻画实自伴算子和复正规算子 tsctsc:《线性代数应该这样学》第7章读书笔记(下):关系密切的极分解和奇异值分解 tsctsc:《线性代数应该这样学》…
这篇文章记录了在学习中对线性代数一些基本概念或定理的理解,同时发掘一下其中的想法以及与其他知识之间的联系。 1 概述 1.1 讨论的背景 在上一节我们讨论了引入内积空间的想法和意义,那么有了内积空间后,就可以讨论内积空间上的一些算子了。 但是如果直接从这些概念的定义入手,确实一开始会觉得非常迷茫,不知道到底在...