等周不等式可以通过一个简洁而美妙的公式来描述：4πA ≤ l^2。在这里，A代表闭合曲线所包围的面积，l代表该闭合曲线的周长，π是圆周率。换句话说，闭合曲线的周长的平方不会小于4π乘以其包围的面积。数学推导：首先，设闭合曲线的周长为l，包围的面积为A。我们知道，对于任何形状的闭合曲线，根据柯西不
于是α−β=kπ/2 , k∈Z , 于是x(s)=a0+cos(α+s) , y(s)=b0±sin(α+s) 所以曲线为圆弧。 等周不等式的意义是平面上长度相同的简单闭曲线,圆围成的面积最大,上述定理是傅里叶分析在几何证明上的一个应用,证明方法是Hurwitz的。编辑...
等周不等式与格林公式结合可推导出区域的特征值估计,在量子力学中用于能级计算;其通过Brunn-Minkowski不等式与凸几何理论连通,为高维积分不等式提供支撑;在微分几何中,该定理与曲率流方程存在深刻联系,被用于研究流形演化过程中的拓扑形态保持特性。 这一经典定理的持久生命力,体现在其不断与新...
以上不等式就称为等周不等式,最早由Edler于1882年证明。等周不等式还可以推广到高维情形。即,n(n≥2)维空间中某一区域D的体积V与构成该区域边界的n-1维超曲面的面积S之间满足关系 式中,vn表示n维空间中单位球的体积,当且仅当区域D为n维球体时等号成立。显然当n等于2时,上式就变为前面介绍的平面区域的等周...
2.2平面等周不等式的证明 接下来我们针对这个定理给出几种不同的证明: 证明1 斯坦纳的证明较早,但是证明方法并不完善,他的证明是在假设最大面积存在的前提下进行的。 引理1:如果简单闭曲线C存在最大面积,那么它一定是凸的。 引理2:用割线将这条闭曲线划分成等长两段,则两边面积相等。
大家都知道等周不等式:平面上周长一定的图形里面,以圆形的面积为最大;或者说面积一样的图形里面,以圆形的周长为最小。这个不等式有各种推广:从二维到高维到无穷维,从平面到其它 Riemannian 流形,从 Lebesgue 测度到其他测度,等等。这一节讲的是 Rn 和RN 上高斯测度的等周不等式,以及它们的一些应用。等...
因为AB是三角形ABC的底,所以h与h1、h2的关系是h=h1+h2。而我们在构造三角形ABC时已经假设了等周不等式成立,因此可以得到: a+b>c b+c>a a+c>b 所以,我们可以将它们相加,得到:2(a+b+c)>(a+b+c),即a+b+c>0。 因此,当三角形ABC的三条边满足等周不等式时,我们可以通过底和高的关系,推导出等式...
从本质上来说,二维的等周不等式依赖于柯西不等式。但是二维的情形下,工具太多了,首当其冲的就是复分析,所以以下的证明中有两个用到了复分析的工具。复分析的证明看上去很难很长,这是因为需要的前期知识储备较多,而事实上,一旦真正具有这些基础,复分析的证明是最漂亮的。第一个证明来自于傅里叶分析,非常干净简...
这就是等周不等式在二维世界的样子,它告诉我们,同样周长的情况下,圆的面积最大。 现在,让我们跳进一个更高维度的世界,比如三维的。在这个世界里,我们有球体而不是圆。即使球变大变小,它的表面周长(叫做表面积)和里面的空间(叫做体积)也有着类似的关系。这就是等周不等式在三维世界的应用,它告诉我们,同样的...