稀疏方程组 1 稀疏方程组是什么？在数学中，方程组是由一组方程组成的系统。稀疏方程组是指方 程组中大多数项都是零或近似于零的方程组，相对于稠密方程组而言，具有更高的计算效率和更小的存储空间。2 稀疏方程组的应用 稀疏方程组广泛应用于各种领域，包括计算机科学、机器学习、信号处理、图像处理等。在计算机...
本章介绍几种常用的针对大规模线性稀疏方程组的迭代解法。这些解法都是基于投影技术,包括正交投影和斜投影到一个称为Krylov(克雷洛夫)子空间上的解法。Krylov子空间是多项式 p(A)v 形式的子空间。简而言之,就…
(1)矩阵表示形式为:Ax=b, A的大小是m×n,x∈Rn,b∈Rm; (2)正规方程组的形式:ATAx=ATb,其与最小二乘目标函数的解等价:argxmin||Ax−b||2,导数为0可以推导出AT(Ax−b)=0⇔ATAx=ATb 1.2 解的结构与稳定性 由于正规方程和Ax=b在通用解结构和稳定性上的分析是一样的,现以Ax=b例进行简要...
对于大型稀疏方程组,迭代法可以通过只考虑非零元素的方式来减少计算量,从而提高求解效率。常见的迭代方法包括雅可比法、高斯-赛德尔法和共轭梯度法等。 雅可比法是最简单的迭代方法之一。它通过将方程组的每个未知数的值替换为其当前估计值,并使用当前估计值来计算其他未知数的更新值。这个过程不断重复,直到未知数的...
稀疏方程组用于求解线性方程组。但由于算法相对复杂，因此常用于低阶稠密方程组。稀疏线性方程组的求解是对自然科学和社会科学中许多实际问题进行数值模拟时的关键技术之一。
本文讨论了大规模线性稀疏方程组的迭代解法中的泛化最小残差方法(GMRES)。首先，GMRES算法在克雷洛夫子空间中寻找使得向量残差二范数最小的向量。根据前面的定理，该向量就是GMRES算法在该子空间的最优近似解。然后，任何在该子空间中的向量都可以表示为线性组合，通过Arnoldi算法得到的等式，可以表示为向量和...
牛顿迭代法是求解非线性方程组的经典方法,其核心是通过线性化逼近方程解。具体步骤为:在每一步迭代中,计算当前点的雅可比矩阵(Jacobian Matrix),并求解线性方程组以更新解向量。对于超大型稀疏问题,雅可比矩阵的稀疏性可显著降低存储和计算复杂度。例如,利用稀疏矩...
前面文章已经更新了至少三种求解线性方程组的MATLAB指令,分别是: 逆矩阵法:x=inv(A)*b,或者写成 x=A^(-1)*b 伪逆法:x=pinv(A)*b 左除法:x=A\b 本节将更新另外两种方法,符号矩阵法与稀疏矩阵求解法。 一. 符号解法 在MATLAB的Symbolic Toolbox中提供了线性方程的符号求解函数,MATLAB格式如下: ...
在工业仿真领域,对各种现实世界的问题进行数值模拟时,如流体动力学分析、电磁场仿真、结构力学应力应变分析等,其控制方程通常是偏微分方程组,在经过不同方法的隐式离散之后最终都可转化为大型稀疏线性方程组。随着人们对计算精度要求的不断提高,方程组的阶数也从上千阶、几十万阶提高到百万、千万阶甚至更高,所需的...
大规模线性稀疏方程组的迭代解法中，共轭梯度算法（Conjugate Gradient，简称CG）是处理大型对称正定（SPD）矩阵的著名迭代法。CG通过在Krylov子空间[公式]中进行正交投影，初始向量设为[公式]，本质上与FOM算法等价，但因矩阵对称性，可通过Lanczos算法的简化形式实现。CG算法是对Lanczos算法的一种优化，类似...