一、前言 在公钥加密体系中,除了基于大整数分解问题的RSA加密体制,另一类重要的加密体制是基于离散对数的难解性,如ECC椭圆曲线加密、Diffie-Hellman算法、ElGamal算法等。为了解决离散对数问题,本文首先介绍一些近世代数的基本知识,之后介绍几类基于离散对数的加密体制,最后列出几道CTF中的相关赛题。 二、代数基本知识 2.
但是,有一些特殊情况下可以用一些方法来近似求解。 1.大步小步算法 当$G$是阶为$n$的循环群时,可以使用大步小步算法以$O(\sqrt{n})$的时间复杂度解决离散对数问题。 大步小步算法的基本思想是,首先将群$G$分成两个部分:前$m$个元素和后$m$个元素。对于每个$i \in [1,m]$,计算$a^i$的值并存储...
我们来看看目前已知地一些求解离散对数的算法。常见的有暴力破解法、二次剩余法、Pollard'srho法、以及更为高效的索洛威–斯图尔特算法等。这些算法各自的性能特点不同,面对不同规模的离散对数问题时,选用的策略也有所不同。暴力破解法直白但低效适用于小规模的对数问题;而Pollard'srho法则利用了随机化以及循环链的特点...
示例代码:在y2=x3+ax+bmodp的椭圆曲线循环群Ep(a,b)(参见密码协议学习笔记(1.5):几种常用的非对称密码体系 - Isakovsky - 博客园 (cnblogs.com))上求解离散对数 import math def qpow(base,exp,mod): #快速幂 ans = 1 while(exp>0): if(exp%2 == 1): ans = ans*base%mod exp = exp//2...
离散对数求解 1.实验内容 我们谈谈以下几个基本概念。 1.原根 原根是一种数学符号,设m是正整数,a是整数,若a模m的阶等于φ(m),则称a为模m的一个原根。(其中φ(m)表示m的欧拉函数) 假设一个数g是P的原根,那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1<g<P,0<i<P,归根到底就是g^(P-1) = 1 (mod...
进而求Z1、Z2的离散对数。操作如下: 在cado/cado-nfs/tests里建一个文件 my_gfp2_p2dd49.sh p2指二次扩域GF(p^2),dd49指49 decimal digits,十进制位数49位,按照Cado-nfs的习惯起的。 赋予可执行权限 chmod +x my_gfp2_p2dd49.sh 然后写入如下内容 ...
Pollard rho算法是一种用于求解离散对数问题的算法。离散对数问题是在离散数学中常见的一个问题，即对于给定的素数p、整数a和b，求解满足$a^x \equiv b \mod p$的整数x。离散对数问题在密码学中有着重要的应用。例如，Diffie-Hellman密钥交换协议、RSA加密算法等都依赖于离散对数问题的难解性。因此，求解离散对数...
Index calculus算法是一种更为高效的求解离散对数问题的方法。它的基本思想是通过计算一些已知的离散对数来建立一个指标表,然后使用这个指标表来求解未知的离散对数。这种方法在大型模数下非常高效,但需要大量存储空间。 实例应用: 离散对数算法在密码学中有着广泛的应用。例如,在Diffie-Hellman密钥交换中,双方需要协商一...
ELGamal算法的安全性是基于求解离散对数问题的困难性 ELGamal加密算法是一种非对称加密算法,其安全性依赖于离散对数问题(Discrete Logarithm Problem, DLP)的困难性。具体来说,在有限域上给定生成元\( g \)和元素\( h = g^x \),计算私钥\( x \)的过程称为离散对数问题。ELGamal的加密过程通过公钥\( (g,...