相似矩阵的特殊情况:正交相似矩阵是相似矩阵的子集,额外要求变换矩阵Q正交。 实对称矩阵的简化:实对称矩阵必可正交对角化(谱定理),而非对称矩阵需满足特定条件(如存在正交特征向量基)。 与正交对角化的联系:若矩阵能正交对角化,则其必为正规矩阵(满足( AA^T = A^TA ))。 五、正交变...
正交的方向 v→=(−sin(α/2)cos(α/2)) 上的像是 Av→=−v→ ,变换得到相反向量, 因此A 在单位正交基 (u→,v→) 下得到正交相似标准型 r0=(100−1) . 用代数的方法, A=(abcd) 是正交矩阵等价于下列三个方程成立: a2+c2=1, b2+d2=1, ab+cd=0 由前两个方程可得 c2=1...
再证(1) ⇔(4):因 ATA=E ,两边转置可得 AAT=E ,因此 AT 也是正交阵。最后,因为 A 的行向量就是 AT 的列向量,(1) ⇔(3)。 定义3.4:对于方阵 A,B ,若有正交矩阵 P ,有 PTAP=B ,则称 A 与B 正交相似。 定理3.4:正交相似关系是等价关系。 证:自反性: EAE=A ;对称性:若 PTAP=B ,则...
如果我们能通过某种神奇的“舞蹈”把A变成B,而这个舞蹈的每一步都保持了正交的性质,那么这两个矩阵就是正交相似的。简单来说,正交相似就像是两个朋友通过不同的舞步,在舞池中相互映衬。每个矩阵的特征值、特征向量在这个过程中都不变,所以你可以说它们有着相同的“灵魂”。 1.2正交变换是什么? 正交变换可以想象...
正交的相似变换矩阵是一种特殊的正交矩阵,用于实现两个同阶方阵之间的相似变换,同时保持向量的几何性质。具体来说,若存在正交矩阵( Q )使得( Q^{-1}AQ = B ),则称( Q )为正交的相似变换矩阵,其中( Q )满足( Q^T = Q^{-1} )。这类矩阵在保持矩阵相似性的基础...
作正交矩阵 则有 解析:(1)由于A,B相似,故于是 即得 又由于相似矩阵的特征多项式也相同,故即 展开左边得于是,得 `而从而 (2)由(1)知并且A有特征值0,1,2,分别代入方程可得与3个特征值相应的解分别为并单位化它们得到它们对应的特征值不同,故互相正交。作正交矩阵则有 反馈...
合同不一定相似： 合同矩阵是指可以通过合同变换相互转化的两个矩阵。但是，对于正交矩阵而言，即使两个矩阵合同，也不能保证它们一定相似。这是因为正交矩阵的特性使得合同变换和相似变换在它们之间不再具有互逆性。综上所述，对于正交矩阵来说，相似和合同是两个独立的概念，它们之间不存在必然的联系。
1、若A与对角矩阵相似则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。两个矩阵的特征值相等的时候不一定相似，但当这两个矩阵是实对称矩阵时， 有相同的特征值必相似，当矩阵A与B的特征值相同，A可...
' T ' 因为D为对角矩阵所以D ' =D.所以A ' =T.D.T -1 =A所以A为对称矩阵. 由已知条件得,有正交矩阵T,使得T--1AT=D,其中D是对角矩阵所以A=TDT-1,T为正交矩阵有T'=T-1所以A'=(TDT-1)'=(TDT')'=T(TD)'=T.D'T'因为D为对角矩阵,所以D'=D.所以A'=T.D.T-1=A,所以A为对称矩阵....
1.对角矩阵,三角矩阵特征值为主对角线元素,同阶单位矩阵列向量是特征值 2.行和相等矩阵行和为一个特征值,分量均为1列向量是特征向量 3.A与B相似 数乘、幂、多项式、逆、伴随、加 kE均相似 4.相似不变量 特征多…