病态方程组是数值计算中因系数矩阵接近奇异或条件数过大而导致解对输入误差高度敏感的方程组。其特性包括解的不稳定性和误差放大效应,需通过条件数分析、正则化方法或迭代算法进行识别和处理。以下从定义、特性、识别方法、产生原因及处理策略展开说明。 一、定义与核心特性 病态方程组的核心问题...
病态方程组是指在数值计算中，由于方程之间存在高度相似或相关的情况，导致方程组的一些特征性质或结果变得不稳定或误差敏感的情况。病态方程组的一个典型特征是在输入数据存在一定误差的情况下，输出结果会产生较大的误差放大。二、病态方程组的成因 1. 系数矩阵的条件数较大：条件数（condition number）是衡量矩阵病态...
病态线性方程组,即对于线性方程组 y=Ax,系数矩阵 A 的条件数很大,y 和 A 的轻微变化也会导致解 x 有极大变化。 常用SVD 方法来求解此类问题,构造一个 Hilbert 矩阵来予以说明。 clear;clc; % 创建一个典型的病态矩阵:Hilbert矩阵 N = 15; a = repmat(1:N, N, 1); A = 1 ./ (a + a' - 1...
粗糙点理解，就是对线性方程组Ax=b时，且A是n阶非奇异矩阵，当条件数 Cond（A）比较大时，A和b的小扰动会引起解的较大误差，条件数Cond（A）表现了方程组Ax=b的性态。如果条件数比较大，就说方程组是“病态”的；如果条件数比较小，就说方程组是“良态”的；其实，病态和良态是相对的。
病态线性方程组的求解.doc,《科学与工程计算》实验报告 学号: 姓名: 一、实验内容: 考虑方程组Hx=b的求解,其中系数矩阵H为Hilbert矩阵, 这是一个著名的病态问题。通过首先给定解(例如取为各个分量均为1)再计算出右端b的办法给出确定的问题。 实验要求: (1)选择
病态方程组啊,这名字听起来就有点怪。你想啊,正常的方程组就像一个健康的人,各项指标都正常。可病态方程组呢,就像一个身体有点毛病的人,稍微有点风吹草动就不行了。那这个和条件数有啥关系呢? 如果一个方程组是病态的,它的条件数就会很大。这就好比一个身体弱的人,他的各种健康指标波动就会很大。你看啊,...
解线性代数方程组Ax=b，若A的条件数（MATLAB中用cond（A）求A的条件数）很大，意味着原始数据A,b变化微小，也有可能引起解的极大变化，此时称方程组是病态的。条件数是永远大于等于1。条件数很大时，线性代数方程组有可能是病态的。条件数等于A的2范数乘以A逆的2范数。Hilbert矩阵是非常著名的对称正定...
方程组(1)的解在系数产生1%的相对误差后几乎不变,而方程组(2)的解则发生了显著变化。这是因为方程组(2)所表示的两条直线几乎平行,导致其对系数误差非常敏感,这种方程组称为病态方程组。对于病态方程组,处理原则包括采用高精度数值运算、预处理方法、特殊数值解法或改变原问题提法,以减轻数值不稳定性。这些研究...
使用范德蒙矩阵解系数会导致计算不稳定。因此，在实际应用中，我们需要寻找更稳定的方法来逼近多项式，以避免病态方程组带来的问题。综上所述，范德蒙矩阵的病态特性源于其条件数的巨大值。这种特性使得它在数值计算中变得非常敏感，特别是在处理多项式系数的逼近问题时。理解这一点对于解决实际问题至关重要。
高精度数值运算解病态方程组 针对病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定性,可采用高精度数值运算解决这个问题。 Fortran内置函数SELECTED_REAL_KIND(p, r),默认两个参数p是精度,r是范围。p是所需精度的十进制数值,r是以10^r次方表示的所需数值的范围。当执行该函数的时候,会返回达到或者超过指定精度或者范围的...