Res[f(z), ∞] = -lim(|z|→∞) z^2·f'(z) 或者通过变换f(1/z)来计算: Res[f(z), ∞] = -Res[(1/z^2)f(1/z), 0] 五、直接积分法(不常用) 对于简单的函数和路径,可以直接通过积分来计算留数。但这种方法通常较为繁琐,且不便于推广。 应用示例 考虑函数f(z) = e^z / z^5,需
注*:关于本方法,严格上讲应该叫“部分分式展开法”,不能叫作留数定理法,只能说在复变函数中借鉴了计算留数的思想。本篇幅将围绕这一思想,着重叙述有理函数展开的过程。至于展开后的每个小积分,则不再过多去阐述其计算过程。 有了这一方法,不用待定系数 or 取特殊值的方法也可拆分有理函数。其它不定积分计算方...
计算留数的例题 例8.1 解法1. 由留数的定义 \( \text{Re}s\left( f,0 \right) =\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=\frac{1}{2}}{\frac{5z-2}{z\left( z-1 \right)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=\frac{1}{2}}{\frac{\frac{5z-2}{z-1}}{z-0}dz}=2} \) 解法2. 由于...
该方法通过消除极点因子(z-z0)后取极限,直接得到留数值。例如,f(z)=1/(z-2)在z=2处的留数为lim_{z→2} (z-2)·1/(z-2)=1。 四、m阶极点的留数 当奇点为m阶极点(m>1)时,留数计算涉及高阶导数运算。公式为Res(f,z0)=1/[(m-1)!]·lim_{z→z0} [d^{m-1}...
长除法法则是一种逐位计算留数的方法，适用于除数是多位数的情况。长除法的基本步骤如下：a.将被除数从左到右逐位拆分，得到被除数的各个位数。b.将除数从左到右逐位与被除数的位数进行比较。c.如果被除数的位数大于等于除数的位数，进行一次除法运算，得到一位商和一位留数。d.将商和留数写在左边的列上。e....
直接积分法:对于简单的函数和路径,可以直接通过积分来计算留数。但这种方法通常较为繁琐,且不便于推广。 洛朗级数展开法:这是最常用的方法之一。首先,将函数在孤立奇点处展成洛朗级数: [ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n ] 其中,$a_{-1}$即为所求留数: [ \text{Res}[f(z...
处理高阶极点:如果极点是高阶的,可以使用递推关系或多次应用洛朗级数的方法来计算留数。 示例:继续以 $f(z) = \frac{1}{z^2 + 1}$ 为例,但这次用极限法计算 $z = i$ 处的留数。 由于$z = i$ 是一阶极点,所以可以直接使用极限法。 计算$\lim_{z \to i} (z - i)\frac{1}{z^2 + 1}...
基本思路:先转换为复平面上半圆上的积分,然后计算出2个留数,然后用大圆弧引理说明圆弧积分为0,然后就得到了实数轴上的积分结果。 先来算一下区域内的奇点 里面的R → +∞ 由留数定理可知: 其中留数定理内容: 这里的留数计算其实比较简单,带入z1,z2,z3,z4的值...
对于简单极点a,我们有留数的计算公式: Res(f,a) = lim(z→a) [(z-a)f(z)] 对于高阶极点,我们可以利用洛必达法则来计算留数。此外,如果函数f(z)可以分解为g(z)/h(z),那么我们可以利用h(z)在点a处的零点和极点来计算f(z)在点a处的留数。 在实际应用中,我们还可以利用留数定理来计算复积分。留数...