一、留数定理 二、应用留数定理计算实变函数定积分 类型一 类型二 类型三 一、留数定理 洛朗级数的(z−z0)−1项的系数a−1,称为函数f(z)在点z0的留数(或残数),记作Resf(z0) 这样 ∮lf(z)dz=2πiResf(z0) 留数定理 ∮lf(z)dz=2πi∑j=1nResf(bj) ...
留数定理:f(z)f(z)在正向闭合路径CC内除有限个孤立奇点b1,⋯ ,bkb1,⋯,bk处处解析, 则∮Cf(z)dz=2πi∑k=1nresf(z)∣z=bk∮Cf(z)dz=2πi∑k=1nresf(z)∣z=bk. 极点: 若f(z)f(z)在bb的 Laurent 展开的负幂项最高次为−m−m次, 称bb为f(z)f...
留数定理学习笔记: 留数定理 1. 留数定理的关键应用 转化积分形式：留数定理的核心在于将复杂的实积分转化为复积分，通过选择合适的围道简化计算。 处理特定形式积分：对于形如[公式]的积分，常通过半圆围道来简化计算，利用留数定理及其推论。2. 奇点处理技巧 小圆弧引理：在处理带奇点的函数时，小圆弧...
本节回归对复变积分的讨论,介绍了留数定理这一计算积分的强大工具,并讨论了留数的计算,以及留数定理在计算实积分中不可替代的强大功用。在计算定积分时,我们可以在原先掌握的换元法与分部积分基础上,构建积分围道,借助留数定理便捷求解。许多积分在物理中得到重要应用。 参考书:吴崇试《数学物理方法》 参考课程:马伯强...
拖更了两年,最近终于开始补齐之前这篇稿子的内容。之后可能会在暑假期间慢慢写好,保证质量比保证完成速度更重要。 留数理论是复积分和复级数理论结合的产物。在前面详细讨论过洛朗级数和柯西积分定理之后,导出…
书是姚端正,周国全,贾俊基老师的《数学物理方法》第四版课程指路:BV1ab411u7By笔记为周国全老师的板书表白周老师!!
定义留数为函数沿该函数的孤立奇点为圆心的充分小的圆积分再除以圆的半径，记为\(\text{Res}(f, a)\)。通过洛朗展开与重要积分计算，可以得知留数的计算方法。在函数的洛朗展开中，可以直观地获取留数的值。如果闭合曲线C内包含多个极点，则留数之和为零，简化了计算过程。总结出的计算规则包括：在可...
【摘要】 留数就是留下来的数,两边积分即得结果。 一般函数极限趋于无穷我们就说他是不存在,但是最终结果如果有无穷我们为了论述的方便也说他的极限是无穷。 m阶极点对应地也产生了m阶极点。 无穷远... 留数就是留下来的数,两边积分即得结果。 一般函数极限趋于无穷我们就说他是不存在,但是最终结果如果有无穷我...
5.2 留数的应用——实积分的计算 5.2.1 实三角有理积分 形如I=\int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)\mathrm{d}\theta 的积分称为三角有理积分,其中 R(x,y) 是有理函数 在数学分析中我们学过,可以引入变量替换 x=\tan\frac{\theta}{2} 计算 在复变函数中,我们可以令 z=\mathrm{e}^{i\...
计算留数: \mathrm {Res}(f,\mathrm i)=-\frac{1+\mathrm i}{16},\mathrm{Res}(f,3\mathrm i)=\frac{3-7\mathrm i}{48}。 这样就有 \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2-x+2}{x^4+10x^2+9}\mathrm dx=2\pi\mathrm i\left( -\frac{1+\mathrm i}{16}+\frac{3-7\mathrm i}...