Analysis# 看起来题目是直接整上矩阵树定理了的(不会,滚粗了),但是这个数据范围肯定是有其他解法的(我又回来了)。 n的范围肯定是要求我们能在O(logn)时间完成的,而k的范围更是小的离谱。 当然可以考虑 DP ,然后记录目前这点前k个点的状态。因为生成树的要求是联通且无环,所以最好的想法肯定是记录前k个点的联通状态呀,相同连通
f n f_nfn表示n nn个节点完全图的生成树个数,g n g_ngn表示n nn个节点完全图的生成森林个数,h n h_nhn表示n nn个节点完全图,点1 11和点n nn不在一棵树中的生成森林个数。F ( x ) , G ( x ) , H ( x ) F(x),G(x),H(x)F(x),G(x),H(x)是对应的生成函数。 答案...
1. Kirchhoff矩阵树定理 Kirchhoff矩阵树定理是图论中经典的生成树计数方法之一。该定理是由Kirchhoff在19世纪提出的，它建立了图的Laplacian矩阵与其生成树个数的关系。Laplacian矩阵是一个$n\times n$的矩阵，其中$n$是图中的节点数。对于一个连通图而言，Laplacian矩阵的任意一个$n-1$阶主子式，其绝对值等于该图...
Cayley公式是最简单的生成树计数算法之一，它适用于完全图。完全图是指图中的任意两个不同顶点之间都有一条边相连。假设完全图有n个顶点，那么生成树的数量为n^(n-2)个。Cayley公式的证明可以利用普鲁夫树（Prüfer Tree）的概念，这里不再详述。2. Kirchhoff矩阵树定理 Kirchhoff矩阵树定理是另一种生成树计数算法...
最短路径生成树计数。 我们应该先明白什么是最短路径生成树,不会戳这里。 计数方法明显是要使用乘法原理计数,也就是说我们可以得出每一步的方案数再乘进答案中。 接下来考虑如何的出每一步的方案数,所谓方案数也就是对于每一个D[i]D[i]D[i]可以从多少个D[j]D[j]D[j]转移过来,那么显然,比较大的距离只...
生成树计数-Matrix-Tree定理 /* *算法引入: *给定一个无向图G,求它生成树的个数t(G); * *算法思想: *(1)G的度数矩阵D[G]是一个n*n的矩阵,并且满足:当i≠j时,dij=0;当i=j时,dij等于vi的度数; *(2)G的邻接矩阵A[G]是一个n*n的矩阵,并且满足:如果vi,vj之间有边直接相连,则aij=1,否则为...
生成树计数 考虑简单带权无向图的情况。 约定这张图为G=(V,E),n=|V|,m=|E|G=(V,E),n=|V|,m=|E|,ei=(ui,vi,wi)ei=(ui,vi,wi)表示第ii条边,degudegu表示uu所连边的边权和。 Some DefinitionsSome Definitions 邻接矩阵 An∗nAn∗n满足Ai,j=w(i,j)Ai,j=w(i,j)...
而生成树则是树的一个特殊子集,它由给定图中的所有顶点和部分边构成。本文将介绍图的树的基本概念,并探讨生成树的计数方法。 首先,让我们来看看图的树。树是一种无环连通图,其中任意两个顶点之间存在唯一一条路径。它具有以下性质: 1.n个顶点的树有n-1条边。这可以通过归纳法证明:当n=1时,结论成立;假设n...
生成树计数是指对给定图,计算其生成树的数目。生成树计数的问题可以通过使用基于图论和组合数学的算法来解决。通常,生成树计数的问题与相应图的特性和性质密切相关。 对于一个简单图来说,如果图中任意两点之间至少有一条边,那么该图一定存在生成树。对于有 n 个顶点的连通图来说,它的生成树数量可以通过Cayley公式...
生成树计数问题 【题目描述】 给你一个n个点,m条边的无向图,求其生成树个数。(1<=n<=12) 【分析】 由于原问题规模较小,可以使用复杂度较高的算法,如指数级的动态规划。 那么如果n=1000呢? 【基尔霍夫矩阵】 对于无向图,它的kirchhoff矩阵定义为度数矩阵减去邻接矩阵。 在计算时,用a表示kirchhoff矩阵。