以下链接很好的解释了群环域的概念. http://sparkandshine.net/algebraic-structure-primer-group-ring-field-vector-space/ 群的定义:(Group) 群是一个特殊的集合,这个集合需要满足4条性质. 1,2,3,4 blablabla, 就叫1个群. 也叫群公理定义. 我这里要说的是, 并不是每个集合都能够同时满足这4条性质的. ...
群、环、域和向量空间是四款代数结构,这些结构的基础构件都是集合,就是首先得有一帮子东西(元素)凑到一起了,集合成一伙(我们有兴趣去研究或处理它们)。然后,在这个集合之上再加上各款运算,以及特殊的元素(与运算有关),层层加码,就一步一步建设起来了群、环、域和向量空间了(集合+运算)。 二,后有原(始)...
运算数量:群主要关注的是一个运算,而环和域都涉及两个运算(加法和乘法)。 逆元存在性:在群中,每个元素都有逆元;在环中,只有加法下的逆元(即相反数),乘法下的逆元不一定存在;在域中,除了0以外的每个元素都有乘法逆元。 运算性质:群的运算可以是任意的,但通常称为乘法;环和域中的加法必须满足交换律和结合...
群的定义主要关注于单一运算(通常是乘法或组合),并强调该运算下的封闭性、结合律、单位元和逆元的存在。 环扩展了群的概念,引入了第二个运算(加法),并要求加法形成一个阿贝尔群,同时乘法满足封闭性、结合律和分配律。 域则进一步要求乘法也形成一个群(除了零元素外),从而保证了每个非零元素都有唯一的乘法逆元。
群论专门研究群这种代数结构，关注群的性质、群之间的关系以及群在其他数学领域中的应用。正如前面所介绍的，群是由一组元素和一个二元运算组成的代数结构，满足封闭性、结合律、单位元和逆元这四个性质。抽象代数中的其他结构，如环、域和向量空间等，往往建立在群的基础之上。例如，环和域都包含一个加法群，域的...
群是特殊的集,在它上面可以定义一种运算(通常叫做“乘法”,但跟数的乘法无必然联系),要封闭/可结合/有单位元(类似乘1/加0)/有逆元(类似乘倒数/加相反数)...例如,正有理数是乘法群,非零有理数也是乘法群,整数集在加法下成群.注意,群不要求交换律,如果满足交换律,叫阿贝尔群(或加法群).环和域的要求就...
- (R, \cdot)构成半群：乘法运算封闭，满足结合律，存在乘法单位元1。- 乘法对加法满足分配律。整数集合在加法和乘法运算下就是一个环。3. 域(Field)是在环的基础上，增加了除法运算的要求。在域中，每个非零元素都必须有乘法逆元，即除法运算的定义域不为零。域是能够进行加、减、乘、除（...
环有点像是一杯果味汽水！环也满足加法和乘法的要求，但相比域和群要少一些特性。首先，环中的加法要满足结合律和交换律，就像果味汽水中的各种成分可以随意混合和互换顺序。其次，环中的乘法要满足结合律，就像果味汽水中的泡沫可以随意混合而不会改变味道。但是，在环中乘法不需要满足交换律，就像果...
群是群论以及抽象代数(近世代数)中最基本的概念。以群为基础,可以进一步定义抽象代数中的另外两种代数系统——环和域。 定义1(域)设F是非空集合,F上有两个代数运算,一个称为加法,另一个称为乘法。F对于加法构成交换群,F*=F\{0}(F中元素除去零元,即加法群单位元,后构成的子集)对于乘法也构成交换群。并且...
在代数学中，群、环和域是几个基本的概念。它们是数学中用于研究代数结构和操作规律的工具。群、环和域分别是从不同角度对代数系统进行定义和研究的。本文将重点介绍群、环和域的基本概念。首先我们来谈谈群的定义。在代数学中，一个群是一个集合G与一个二元运算（通常是乘法），满足以下四个条件：封闭性、结合...