设A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量 x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是矩阵A的一个特征值或本征值。设A是数域P上的一个n阶矩阵,λ是一个未知量,称为A的特征多项式,记¦(λ)=|λE-A|,是一个P上的关于λ的n次多项式,E是单位矩阵。 ¦(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一个n次代...
1. 求解特征向量:特征向量是指在线性变换下不改变方向的向量,也就是说,矩阵 A 作用于向量 x 后,x 的方向保持不变。因此,特征向量 x 满足以下条件: Ax = λx,其中,λ代表特征值。这个方程可以转化为 (A-λI)x = 0,其中,I是单位矩阵。解这个齐次线性方程组,得到的非零解就是特征向量。2. 求...
A的奇异值为A'A的特征值的平方根,注意,不是AA'. 若A为方阵,则A的奇异值为A的特征值的绝对值。 注意,V矩阵为A'A矩阵的特征向量组成的方阵,对应于A'A最大特征值的特征向量,就是A矩阵拉伸比例最大的方向。 图片对比 图中,红色实线对应绝对值最小的特征值的特征向量,蓝色实线表示对应特征值最大的特征向量。
1.特征值与特征向量的定义 在现代控制理论中,关于特征值的计算是不可能避开的,因此,这里我们介绍一下特征值与特征向量。 对于一个给定的n×n的方阵AAn×n线性变换,我们可以找到一个已知的实数λ和一个非零列向量x→,满足: AAx→=λx→ 我们就称λ是矩阵AA的特征值,非零向量x→是矩阵AA的特征向量。
特征值就是运动的速度 特征向量就是运动的方向 既然运动最重要的两方面都被描述了,特征值、特征向量自然可以称为运动(即矩阵)的特征。 注意,由于矩阵是数学概念,非常抽象,所以上面所谓的运动、运动的速度、运动的方向都是广义的,在现实不同的应用中有不同的指代。
个线性无关的特征向量 ,特征值分别为 , 则对任意的 ,有 . 显然如果我们选取这些特征向量作为新的基矢,则 对应的矩阵 是对角矩阵,且对角元就是特征值,即 这些特征值的意义就是变换 将空间 沿向量 方向扩大 倍,再沿向量 方向扩大 倍……最终沿 方向扩大 ...
一、特征值和特征向量的定义 定义1:设 $A$ 是 $n$ 阶方阵,若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $x$,使得 $Ax =\lambda x \quad (x≠0)$ 则称 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值,$x$ 为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。 特征子空间基本定义,如下: 由$Ax =\lambda x \quad (x≠...
方法2:用特征方程法,先由特征方程|λE-A| = 0解出所有的特征值λ,再根据特征向量的性质,将求出的特征值代入|λE-A| x= 0中,求出这个齐次线性方程的基础解系,求出的解即为矩阵A属于特征值λ的线性无关的特征向量。 关于特征值和特征向量的定理: ...
所以矩阵A左乘任意的一个向量x,其实都可以理解成是把向量x沿着这2个特征向量的方向进行伸缩,伸缩比例就是对应的特征值。可以看到这2个特征值差别是很大的,最小的只有1,最大的特征值为100。 看下图的例子,矩阵A和向量 [1,1]相乘得到 [1,100],这表示原来以A为坐标系的坐标[1,1],经过转换到以 ...