正则性开集拓扑空间Borel闭子集局部紧空间紧子集有限集紧集可测集关于测度的正则性,本文证明如下的一个定理。 设X是拓扑空间, μ是X上定义的Borel测度,满足:开集都是F_σ的; (ii)开集都是σ紧的;(iii)X=UX_n,每个X_n是开集,μ(X_n) <+∞;(iv)紧集都是μ可测的。那么,μ是正则的。 文章举例说明这是Rudin书中一个著名的定理的推广。黄重器龙岩学院学报
Lebesgue测度的正则性 在上一节中,我们讨论了如何将一个在半代数 S 上σ -可加的函数扩展到生成的 σ -代数 σ(S) 上。 接下来,我们将研究更具体的情况,特别是勒贝格测度,这是我们研究的最重要的例子之一。我们将证明,勒贝格测度不仅满足平移不变性的某些性质(稍后我们将定义 Borel 集),而且还满足正则性的某...
下面这个定理揭示了 Lebesgue 测度的正则性 (regularity),后面讲抽象测度的时候会细讲。 Proposition 4.14 令A⊂[0,1] 为一个Borel-可测集, m 是Lebesgue 测度,那么:(1) 开集∀ε>0,∃开集G,s.t.m(G−A)<ε,A⊂G (2) 闭集∀ε>0,∃闭集F,s.t.m(A−F)<ε,F⊂A (3) ∃H...
它既保留了经典测度论的骨架，又因空间的抽象化而生长出新的血肉。测度正则性最初在欧氏空间中萌芽，源自数学家对“大小”概念的精确刻画。比如在实分析中，内外正则性确保了测度的“里应外合”——一个集合的测度既可以通过内部紧集逼近，也可以通过外部开集覆盖来估计。这种性质在处理积分或概率分布时尤为重要，...
3. 正则性 定义：Lebesgue测度的正则性是指对于任何可测集，总可以找到一个开集或紧集，使得该集合与这个开集或紧集的测度差任意小。 意义：正则性揭示了Lebesgue测度的灵活性和逼近性。它使得我们能够用更简单、更直观的集合来逼近复杂的可测集，从而更方便地进行测量和计算。 应用：在实际应用中，正则...
Riesz表示定理及Borel测度的正则性答案如下：Riesz表示定理： 定义：设X是局部紧的C空间，L是X上的正线性泛函，则存在一个包含L在内的所有紧集的B代数A，并存在X上唯一的正测度μ，使得L = ∫_X f dμ对每个f ∈ A成立。 性质： 对每个紧集K，有μ > 0。 对每个O ∈ Λ，有μ < ...
论测度的正则性
定理2.15(外测度的正则性)若 E二R .则存在包含 E的G集H .使得m(H)=m(E).(此时我们也称H为E的等测包.) 相关知识点: 试题来源: 解析 证明 对于每个自然数k,存在包含E的开集G .使得 m(G_t)≤m(E)+1/k 现在作点集H = G ,则H是G集且 H二E.因为 m⋅(E)≤m(H)≤m(G_k)≤m⋅...
我们放到正则测度的背景下来看这件事情,来证明正则测度的微分跟其 Lebesgue 分解所对应的 Radon-Nikodym 微分是几乎处处相等的。 我们先来定义一下测度的正则性,并且将它跟前面 14.2 节 Definition 14.7 讲到的局部可积函数联系起来。 Definition 14.24 令μ 为Rk 上的Borel 正测度,称 μ 是正则测度 (regular ...
正则性的魅力 最后，定理6呈现了勒贝格测度的正则性，它揭示了测度的灵活性，无论是对开集还是紧集，都能找到对应的测度覆盖。这一特性在处理实际问题时，极大地丰富了我们的工具箱。这些定理和性质，如同测度论的瑰宝，不仅展示了勒贝格测度的深度和广度，也为后续的理论发展和应用提供了坚实的基石。在...