柯西-比内公式(Cauchy-Binet Formula)是一个在线性代数中非常有用的公式,它给出了两个矩阵乘积的行列式与这两个矩阵的子矩阵行列式之间的关系。具体来说,如果A是一个m×nm\times nm×n矩阵,B是一个n×mn\times mn×m矩阵(其中m≤nm \leq nm≤n),那么AB的行列式可以表示为: \det(\mathbf{A}\mathbf{B}...
比内-柯西公式的应用(二)(行列式上界估计、Hadamard不等式) 1.公式简介 比内-柯西公式的形式如下,设A=(aij)s×n,B=(bij)n×s, i)若s>n,则|AB|=0; ii)若s≤n,那么|AB|等于A的所有s阶子式以及B的相应s阶子式的乘积之和,即 |AB|=∑1≤<v1<⋯<vs≤nA(1,2,⋯sv1,v2,⋯vs)⋅B(v1...
比内柯西公式 比内柯西公式(Binomial Coefficient Formula)是一个数学公式,它用来表示从n个不同的对象中抽取r个对象的所有可能组合的种数。即: C_(n,r)=frac{n!}{r!(n-r)!} 其中,n!=1×2×3×…×n,表示n的阶乘;r!=(1×2×3×…×r),表示r的阶乘;(n-r)!=(1×2×3×…×(n-r)),表示...
Binet-Cauchy(比内——柯西)公式及其应用 首先我们考虑,如下矩阵行列式的运算 若有 C_{m\times m}=A_{m\times n}B_{n\times m} 那么(1). m>n , |C|=0 (2). m=n , |C|=|A||B| (3). m<n , |C|=\sum_{1\leq i_1\leq i_2...\leq … OPTIman 柯西列构成的线性空间,...
定理(柯西—比内公式)设A,B分别为m×n,n×m矩阵。如果S是{1, ...,n} 中具有m个元素的子集,我们记AS为A中列指标位于S中的m×m子矩阵。类似地,记BS为B中行指标位于S中的m×m子矩阵。则 当m>n时,|AB|=0; 当m≤n时, 上式就是柯西—比内公式,也可以记作 ...
柯西不等式:二维形式:(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc 三角形式:√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]等号成立条件：ad=bc 注：“√”表示平方根，向量形式:|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,?,an)，β=(b1,b2,?,bn)（...
比内-柯西公式的证明与应用 比内-柯西公式描述了两个非方矩阵乘积的行列式的计算方法。当两个矩阵的阶数之和大于等于另一个矩阵的阶数时，公式的结果为0；当小于等于时，结果是两矩阵所有子矩阵乘积之和。对于第一种情况，即矩阵秩小于其阶数，矩阵非满秩，故行列式为0。直观理解是，生成矩阵的秩较低...
其中(3)即为Binet-Cauchy公式。 证明方法需对C做拉普拉斯展开。 Binet-Cauchy在我们方阵行列式的计算中会用到,我们考虑以下几个扩展。 1.设n×m阶实矩阵A=(B,C),其中B是n×s阶子块,C是n×(m−s)阶子块, 那么:|ATA|≤|BTB||CTC| 2.设A=(aij)n×n是实n阶矩阵,那么我们有Hadamard不等式:|A|2...
探索比内-柯西公式：理论与实际的交汇点小希在知乎上首次分享了这个数学瑰宝——比内-柯西公式，它以简洁的形式揭示了矩阵乘积的秘密。公式表述为：形式之美|AB| = Σ(s阶子式A×B)，其中s≤n 这个看似复杂的公式，实则将不规则矩阵乘积的计算简化为规则矩阵的和，展现了数学的优雅与力量。证明的艺术...