母函数法(也叫级数法)(适合实验班数学高手,或者大学生,高中教师学习掌握。这种方法十分强大,比如像著名数列卡特兰数列递推公式都直接被母函数秒杀) 相关知识点: 试题来源: 解析 aₙ = [2^{n+1} + (-1)^n]/3 设生成函数G(x) = Σ_{n=0}^∞ aₙxⁿ。根据递推关系:G(x) - a₀ - a...
解:由例1知方程组为 p_1(n+1)=1/4p_2(n) + p2(n+1) = p1(n)+ p2(n)+ p2(n), p2(n+1)=+p2(n). 设它们的母函数分别为 f(x)= n=1 g(x)=∑_(n=1)^∞p_2(n)x^(n-1) , h(x)=∑_(n=1)^∞p_3(n)x^(n-1) 将方程组三个方程两边同乘x"得 [p_1(n+1)x^n=...
总的来说,母函数法需要就是通过构造适当的多项式函数(不是的可以用它在零处的泰勒展开表达式代替)。 一、递推数列通项公式的求解 用母函数求解递推数列的主要思想就是:构造函数G(x),使得G(x)的x^n项的系数为所求数列an的第n项。 而在实际求解过程中,我们只需要设法求出G(x)的表达式,每一项的系数就对应...
}}} ,证明:\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}{\ln ^n}2 = \frac{1}{{2\ln 2}}. 这次是一个高阶线性递推数列问题,依旧可以采用万能的母函数方法解决,这里我们在求出通项公式后换一种思路来处理,特殊情况下会比较简洁,当然你直接做估计,类比前面几个题目也是完全可以的 本题竞赛班...
递归方程组解的渐进阶的求法——母函数法 关于T(n)的递归方程的解的母函数通常设为: (6.24) 当(6.24)右端由于T(n)增长太快而仅在x=0处收敛时可另设 (6.25) 如果我们可以利用递归方程建立A(x)的一个定解方程并将其解出,那么,把A(x)展开成幂级数,则xn或xn/n!项的系数便是所求的递归方程的解。其...
用母函数法求递推关系a_n-6a_(n-1)+8a_(n-2)=0的解,已知a=0,a1=1。 相关知识点: 试题来源: 解析 解:特征函数为x26、1=2,x2=4,所以可设\(_\)\(an=A?2n+B?4n,于是 a=0=A+B 解得 A=-1/2a1=1=2A+4B B=1/2即an=(4n2、n)/2 ...
斐波那契数列的通项公式(母函数法) 预备知识: 斐波那契数列的性质: (注:下文方法来自3Bule1Brown,详见BV1R34y1W7Xn,09:30处) 构建一函数: 发现: 注意到: 于是有: 下面对这个式子进行变形: 至此,问题解决
母函数法是一种用于求解斐波那契数列中特定函数的有效方法。通过构造斐波那契数列的生成函数,我们可以将问题转化为幂级数的求解问题,并通过找到特定项并相加来得到最终结果。母函数法在组合数学、离散数学等领域有着广泛的应用,能够解决各种计数问题。通过使用母函数法,我们可以简洁而有效地求解斐波那契数列中的特定函数。...
解法一:(六大母函数法) 设g(x)=-x-2x^2,将f(x)转化为直线a和函数g(x)的交点问题。 当01时,g(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增; x=1时,g(x)取得最小值,g(x)_{min}=g(1)=e-1; 因此,a>e-1时,直线y=a和g(x)有两个交点。解法二:(常规解法分离参数求导法) ...