正定矩阵与半正定矩阵 正定矩阵和半正定矩阵是线性代数中的两种特殊的矩阵类型。正定矩阵是指所有特征值均为正数的矩阵,而半正定矩阵是指所有特征值均为非负数的矩阵。正定矩阵和半正定矩阵在许多数学和工程应用中都有着重要的作用,如优化问题、控制系统和信号处理等。通常,正定矩阵和半正定矩阵被认为是“好”的矩阵...
正定矩阵与半正定矩阵是线性代数中的重要概念,贯穿于机器学习的知识体系。实际 上,正定矩阵和半正定矩阵的定义实际上是很简单的:给定一个大小为 n×n 的实对称矩阵 A∈Rn×n ,若对于任意长度为 n 的非零向量 x∈Rn ,有 x⊤Ax>0 恒成立,则矩阵 A是 一个正定矩阵。 PDF下载网址为:xinychen.github.io/...
例如,多元正态分布的协方差矩阵要求是半正定的。 1. 基本的定义 正定和半正定这两个词的英文分别是positive definite和positive semi-definite,其中,definite是一个形容词,表示“明确的、确定的”等意思。 初学线性代数的读者可能会被这两个词“唬住”,但正定矩阵和半正定矩阵的定义实际上是很简单的 (不考虑复数构...
【定义1】给定一个大小为n×n的实对称矩阵A,若对于任意长度为n的非零向量x,有xTAx>0恒成立,则矩阵A是一个正定矩阵。 【定义2】给定一个大小为n×n的实对称矩阵A,若对于任意长度为n的向量x,有xTAx≥0恒成立,则矩阵A是一个半正定矩阵。 在初中数学中,我们学习过二次函数y=ax2,该函数的曲线会经过坐标...
在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。 定义: A A是n阶方阵,如果对任何非零向量xx,都有 xTAx>0 x^TAx> 0,其中 xT x^T 表示 x x的转置,就称AA正定矩阵。
1.正定矩阵和半正定矩阵 若所有特征值均大于零,则称为正定。 定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有 >0,其中 表示x的转置,就称A为正定矩阵。 性质: 正定矩阵的行列式恒为正; 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同; 两个正定矩阵的和是正定矩阵; ...
正定矩阵与半正定矩阵 正定矩阵(PD): 给定一个大小为 \(n\times n\) 的实对称矩阵\(A\) ,若对于任意长度为 \(n\) 的非零向量 \(X\),有 \(X^TAX>0\) 恒成立,则矩阵 \(A\) 是一个正定矩阵。 半正定矩阵(PSD) 给定一个大小为 \(n\times n\) 的实对称矩阵\(A\) ,若对于任意长度为 \(...
矩阵的 正定与半正定..最简单的理解就是:线性变换就是线性映射,矩阵只不过是线性映射的系数而已。所以,选定基底实际是选定坐标轴(不一定正交)。我们平时不太关心坐标轴,是因为所有地方都用同一个坐标系x-y-z。很多时候,合适的
在机器学习领域，正定矩阵与半正定矩阵是基础且关键的概念。它们的定义颇为直观：一个 [size="n"]n x n[/size] 的实数对称矩阵 [math]A[/math]，如果对于所有非零向量 [math]\mathbf{x} \neq 0[/math]，都有 [math]\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0[/math] 成立，那么 [math]A[/...
半正定矩阵与正定矩阵的和一定是正定阵，从而半正定矩阵与正定矩阵的和是满秩阵，即秩等于矩阵的阶数。