它是指矩阵的特性:如果一个矩阵A,对任意向量x,都有xTAx> 0,那么A就是正定的。很多线性代数的概念依赖于正定矩阵。这篇文章将讨论正定性矩阵的基本定义、性质以及重要的一些应用。 首先定义正定矩阵。正定矩阵是一种特殊的矩阵,它满足下面这个充分必要条件:对任意实数向量x,都有xTAx>0,其中A是正定矩阵。也就是...
存在性:由于 A 是正定矩阵,因此存在正交矩阵 Q 使得A=Q(λ1λ2⋱λn)QT 其中λi 为A 的特征值,进而都是正数.于是 A 可以写成 A=Q(λ1λ2⋱λn)QTQ(λ1λ2⋱λn)QT 记S=Q(λ1λ2⋱λn)QT 即有A=S2 .由于 S 的特征值 λi 均为正数,因此 S 也是正定矩阵. 性质2.3 若A,B 都是...
矩阵正定性有很多应用,其中最重要的是在机器学习中,矩阵正定性对数据建模有着重要的意义,可以用来估计机器学习模型的损失函数,分析数据的分布,发现其表现模式,并用来进行推断。此外,矩阵正定性还可用于解线性方程组和数值分析,其中最常用的是拉格朗日乘子法,来求解不等式约束优化问题。
特征值法:实对称矩阵A不定的充要条件是A既有正特征值又有负特征值。 顺序主子式法:如果A的顺序主子式既有大于零的,又有小于零的,那么二次型是不定二次型。 实例分析 例如,对于矩阵A=,判断其对应的二次型的类型: 计算特征值:解得λ1=1,λ2=3,特征值都大于0,所以对应的二次型是正定二次型。
这就看出矩阵 B 的来由。矩阵 B 是一半正定矩阵的积分,显然也是半正定的。 最后希望看出正定性,即希望 ∫01(x1ta1+⋯+xntan)2dt>0 对x≠0 都成立。易见括号中的函数关于 t,x 都是连续的。倘若 ∫01(x1ta1+⋯+xntan)2dt=0 ,由于被积函数非负,当且仅当 x1ta1+⋯+xntan=0 在t∈[0,1]...
它是指矩阵中所有非零元素都是非负数,对角线上所有元素都大于零。 正定矩阵的最基本性质是它的特征值(Eigenvalues)和特征向量(Eigenvectors)都大于零,因此也称为“绝对正定”(Positive Definite)。该性质决定了正定矩阵可被广泛应用于最优化问题和数值方法的解,同时也可以提供量化描述某种联系密切程度的重要指标。 正定...
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式。正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；两个正定矩阵的和是正定矩阵；正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
正定矩阵的特点：广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）。狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零...