由归纳假设,是正定矩阵即,存在n-1阶可逆矩阵Q使 令∴ 再令,有令,就有两边取行列式,则 由条件 得a>0 显然即A合同于E ,∴A是正定的.三. 负定矩阵的一些判别方法 1.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n.2.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零....
负定:奇数阶顺序主子式小于零,偶数阶大于零;不定:既有正也有负的特征值 二次型的定号性可通过矩阵的顺序主子式或特征值判断。1. **正定二次型**:当且仅当对称矩阵的所有顺序主子式均大于零,或者所有特征值为正数。2. **负定二次型**:当且仅当对称矩阵的奇数阶顺序主子式小于零,偶数阶顺序主子式大于...
(半)正定二次型等价于对应矩阵顺序主子式全大于(等于)零；(半)负定二次型等价于对应矩阵奇数阶顺序主...
例如,负单位矩阵**-I**是负定矩阵。 二、性质对比正定矩阵性质:行列式与主子式:正定矩阵的行列式及各阶顺序主子式均为正数。 分解特性:可分解为实可逆矩阵与其转置的乘积(如A=CᵀC)。 特征值:所有特征值均为正实数,且矩阵与单位矩阵合同。负定矩阵性质:主子式符号规律:奇数阶...
2.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零.3.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足 ,即奇数阶顺序主子式全小于零,偶数阶顺序主子式全大于零.由于A是负定的当且仅当-A是正定的,所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出,故证明略....
要辨别正定、半正定和负定矩阵，可以从它们的特性出发进行判断。首先，正定矩阵的特性显著，如任一主子矩阵皆正定，存在唯一的Cholesky分解，且矩阵本身必为可逆。对称正定矩阵的主对角线元素皆为正数，且满足所有实向量对应的二次型Q>0。半正定矩阵的判定则相对复杂，其特征是所有主子式非负，但非负的...
正定矩阵所有特征值都是正数，半正定矩阵的所有特征值都是非负的，而负定矩阵的所有特征值都是负数。解释如下：正定矩阵 正定矩阵是一种特殊的方阵，其所有特征值都是正数。这意味着该矩阵在相应的空间中所代表的变换能够拉伸空间，不会造成任何方向的压缩。在实数域中，正定矩阵是稳定和可靠的，常用于...
负定矩阵的逆矩阵则是负定的。但它们乘积的逆矩阵性质不明确。一些数值计算方法可用于研究此类乘积。 理论推导在理解乘积性质方面不可或缺。实际问题中,正定和负定矩阵的乘积可能有具体的意义。不同类型的正定和负定矩阵相乘结果可能不同。对称正定矩阵和对称负定矩阵的乘积有待深入探讨。非对称的正定和负定矩阵相乘...
现在我们来看看分块负定矩阵。负定矩阵和正定矩阵正好是相反得。它得特征值是负得。如果你把一个负定矩阵拿来做内积它得到的结果总是小于零。这个性质在一些优化问题中非常重要特别是当我们想要找到问题的最大值时负定矩阵就非常有用了。就像在山谷里找最低点;负定矩阵可以帮助我们快速找到答案。分块负定矩阵也有...
2.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零.3.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足 ,即奇数阶顺序主子式全小于零,偶数阶顺序主子式全大于零.由于A是负定的当且仅当-A是正定的,所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出,故证明略....